分数、比例与绝对值

本节导读

这一节是算术的第二部分：分数与百分数、比与比例、数轴与绝对值。比例和百分数是应用题的基础，绝对值则常常出现在条件充分性判断里，考它的定义、几何意义和非负性。

学完这一节，你应该能把循环小数化成分数，分清「提高 5%」和「提高 5 个百分点」，会求连比、用等比定理，能用绝对值的几何意义求最小值，并会用非负性解「几个非负数之和为 0」这类题。

分数、小数与百分数

有理数与无理数

整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数；无限不循环小数叫无理数，比如 $\sqrt{2}$2​、$\pi$π。循环小数化分数有个规律：纯循环小数的循环节有几位，分母就写几个 9。例如 $0.\dot{1}\dot{2}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$0.1˙2˙=9912​=334​。

分数大小的比较

两个正分数比大小，常用交叉相乘：比较 $\frac{a}{b}$ba​ 和 $\frac{c}{d}$dc​，就比较 $ad$ad 和 $bc$bc。分子分母都接近时，也可以看它们和 1 差多少，差得少的大。

百分比与百分点

百分数表示一个数是另一个数的百分之几。增长率等于增长量除以原来的量，基数是「原来的量」。

「百分点」是两个百分数直接相减的差。利润率从 20% 提高到 25%，是提高了 5 个百分点，而增长率是 $5\div20=25\%$5÷20=25%。题目里两种说法会同时出现，一定要看清。

比与比例

比的性质与连比

比的前项和后项同时乘或除以同一个非零数，比值不变。两个比有一个公共的量时，可以化成连比：把公共量化成同一个数。例如 $a:b=2:3$a:b=2:3，$b:c=4:5$b:c=4:5，把 $b$b 统一成 12，得 $a:b:c=8:12:15$a:b:c=8:12:15。

比例的性质

名称	内容
基本性质	若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ba​=dc​，则 $ad=bc$ad=bc
合比	若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ba​=dc​，则 $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$ba+b​=dc+d​
等比定理	若 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$ba​=dc​=k 且 $b+d\ne0$b+d=0，则 $\frac{a+c}{b+d}=k$b+da+c​=k
正比例	$y=kx$y=kx，$k\ne0$k=0，两个量的比值不变
反比例	$y=\frac{k}{x}$y=xk​，$k\ne0$k=0，两个量的乘积不变

见到「$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$2a​=3b​」这种连等式，最快的办法是设它们都等于 $k$k，把每个字母都用 $k$k 表示出来，这也是上一节特值法的思路。

数轴与绝对值

定义与几何意义

$$\lvert a\rvert=\begin{cases}a, & a\ge0\\-a, & a\lt0\end{cases}$$∣a∣={a,−a,​a≥0a<0​

几何上，$\lvert a\rvert$∣a∣ 是数轴上点 $a$a 到原点的距离，$\lvert a-b\rvert$∣a−b∣ 是点 $a$a 与点 $b$b 之间的距离。所以 $\lvert x-1\rvert+\lvert x-3\rvert$∣x−1∣+∣x−3∣ 表示点 $x$x 到 1 和到 3 的距离之和：$x$x 在 1 和 3 之间时，和最小，等于两点之间的距离 2。一般地，$\lvert x-a\rvert+\lvert x-b\rvert$∣x−a∣+∣x−b∣ 的最小值是 $\lvert a-b\rvert$∣a−b∣。

常用性质

性质	式子
非负性	$\lvert a\rvert\ge0$∣a∣≥0
平方	$\lvert a\rvert^2=a^2$∣a∣2=a2，$\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$a2​=∣a∣
乘除	$\lvert ab\rvert=\lvert a\rvert\lvert b\rvert$∣ab∣=∣a∣∣b∣，$\left\lvert\frac{a}{b}\right\rvert=\frac{\lvert a\rvert}{\lvert b\rvert}$​ba​​=∣b∣∣a∣​
三角不等式	$\lvert a\rvert-\lvert b\rvert\le\lvert a+b\rvert\le\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$∣a∣−∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

三角不等式右边的等号在 $ab\ge0$ab≥0（同号或有一个为 0）时成立。另外，$\frac{\lvert a\rvert}{a}$a∣a∣​ 在 $a\gt0$a>0 时等于 1，在 $a\lt0$a<0 时等于 $-1$−1。

非负性的应用

绝对值、平方、算术平方根都是非负的。几个非负数相加等于 0，每一个都只能是 0。例如 $\lvert a-1\rvert+(b+2)^2=0$∣a−1∣+(b+2)2=0，只能 $a-1=0$a−1=0 且 $b+2=0$b+2=0，得 $a=1$a=1，$b=-2$b=−2。

易错提醒

• ❌ 把「提高了 3 个百分点」算成「乘以 1.03」。✅ 百分点是百分数直接相减，从 8% 提高 2 个百分点就是 10%。

• ❌ 计算增长率时用变化后的量做分母。✅ 增长率的基数是原来的量。

• ❌ 认为 $\lvert a\rvert=a$∣a∣=a 只在 $a\gt0$a>0 时成立。✅ $a=0$a=0 时也成立，条件是 $a\ge0$a≥0。

• ❌ 写成 $\sqrt{a^2}=a$a2​=a。✅ 应为 $\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$a2​=∣a∣，$a$a 是负数时不等于 $a$a。

• ❌ 化连比时直接把两个比拼起来。✅ 先把公共的量化成同一个数，再写连比。

例题精讲

例题 1

已知 $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\ne0$2a​=3b​=4c​=0，则 $\frac{a+b+c}{a-b+c}=$a−b+ca+b+c​=（　）。

A. 1　B. 2　C. 3　D. 4　E. 9

答案：C

解析：设三个比都等于 $k$k，则 $a=2k$a=2k，$b=3k$b=3k，$c=4k$c=4k。原式 $=\frac{2k+3k+4k}{2k-3k+4k}=\frac{9k}{3k}=3$=2k−3k+4k2k+3k+4k​=3k9k​=3。

例题 2

已知实数 $a$a、$b$b、$c$c 满足 $\lvert a-2\rvert+(b+3)^2+\sqrt{c-1}=0$∣a−2∣+(b+3)2+c−1​=0，则 $abc=$abc=（　）。

A. $-6$−6　B. $-5$−5　C. 0　D. 5　E. 6

答案：A

解析：三项都是非负数，和为 0，只能每一项都为 0：$a=2$a=2，$b=-3$b=−3，$c=1$c=1，所以 $abc=2\times(-3)\times1=-6$abc=2×(−3)×1=−6。

例题 3（条件充分性判断）

结论：$\lvert a+b\rvert=\lvert a\rvert+\lvert b\rvert$∣a+b∣=∣a∣+∣b∣。条件（1）：$ab\gt0$ab>0；条件（2）：$a+b\gt0$a+b>0。

答案：A

解析：三角不等式右边的等号在 $a$a、$b$b 同号或有一个为 0 时成立。条件（1）说明 $a$a、$b$b 同号，充分。条件（2）不充分，反例 $a=3$a=3，$b=-1$b=−1：左边是 2，右边是 4。

本节小结

• 纯循环小数化分数：循环节几位，分母就写几个 9；分数比大小用交叉相乘或看与 1 的差。
• 增长率的基数是原来的量；百分点是两个百分数之差，和百分比不是一回事。
• 连比先统一公共量；连等式设比值为 $k$k；等比定理要求分母之和不为 0。
• $\lvert a-b\rvert$∣a−b∣ 是数轴上两点的距离，$\lvert x-a\rvert+\lvert x-b\rvert$∣x−a∣+∣x−b∣ 的最小值是 $\lvert a-b\rvert$∣a−b∣。
• 几个非负数之和为 0，每一项都为 0；$\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$a2​=∣a∣。