整数：整除、质数与奇偶

本节导读

整数的性质是算术部分最基础的内容：整除与余数、公约数与公倍数、奇数与偶数、质数与合数。这些知识点单独出题不多，但经常藏在应用题、数列、排列组合里，也是条件充分性判断里找反例的重要工具。

学完这一节，你应该能快速判断一个数能否被 2、3、4、5、9 等整除，会用分解质因数求最大公约数和最小公倍数，并能用奇偶性和「2 是唯一的偶质数」这类性质快速排除选项。

整除与余数

整除和带余除法

如果整数 $a$a 除以非零整数 $b$b，商是整数、没有余数，就说 $a$a 能被 $b$b 整除，记作 $b\mid a$b∣a，$b$b 叫 $a$a 的约数，$a$a 叫 $b$b 的倍数。一般地，任何整数 $a$a 除以正整数 $b$b，都可以写成

$$a=bq+r,\quad 0\le r\lt b$$a=bq+r,0≤r<b

$q$q 是商，$r$r 是余数。余数一定比除数小，而且不能是负数。

常用整除特征

除数	特征
2	个位是 0、2、4、6、8
5	个位是 0 或 5
4	末两位组成的数能被 4 整除
8	末三位组成的数能被 8 整除
3	各位数字之和能被 3 整除
9	各位数字之和能被 9 整除
6	同时能被 2 和 3 整除
11	奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除

余数问题的常用想法

几个除数的余数相同时，先把这个相同的余数减掉，剩下的就是这几个除数的公倍数。例如一个数被 4 除余 1、被 6 除余 1，那么它减去 1 后既是 4 的倍数又是 6 的倍数，也就是 12 的倍数，这样的数有 13、25、37 等。

公约数与公倍数

分解质因数求法

几个数公有的约数叫公约数，其中最大的叫最大公约数；公有的倍数叫公倍数，其中最小的叫最小公倍数。先分解质因数：最大公约数取公共质因数的最低次幂相乘，最小公倍数取所有质因数的最高次幂相乘。

例如 $12=2^2\times3$12=22×3，$18=2\times3^2$18=2×32，最大公约数是 $2\times3=6$2×3=6，最小公倍数是 $2^2\times3^2=36$22×32=36。

一个重要关系

两个正整数的乘积，等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。上面的例子里 $6\times36=216$6×36=216，正好等于 $12\times18$12×18。已知其中三个量，就能求出第四个。

什么时候用哪一个

「把东西分成同样大小、没有剩余，每份最大是多少」用最大公约数；「几件按不同周期重复的事，下一次同时发生在什么时候」用最小公倍数。

奇数与偶数

运算规律

运算	结果
奇数 ± 奇数	偶数
偶数 ± 偶数	偶数
奇数 ± 偶数	奇数
奇数 × 奇数	奇数
奇数 × 偶数、偶数 × 偶数	偶数

两条推论很好用：几个整数相加，和的奇偶只看其中奇数的个数，奇数有奇数个时和是奇数；几个整数相乘，只要有一个是偶数，积就是偶数。另外，相邻两个整数的积 $n(n+1)$n(n+1) 一定是偶数。

质数与合数

定义与性质

一个大于 1 的整数，如果只有 1 和它本身两个约数，叫质数（也叫素数）；除了 1 和它本身还有别的约数，叫合数。1 既不是质数也不是合数。

30 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，最好背熟。2 是唯一的偶质数，其余质数都是奇数。所以，两个质数的和是奇数时，其中一个一定是 2；几个质数的和是偶数而个数是奇数时，其中也一定有 2。

易错提醒

• ❌ 把 1 当成质数。✅ 质数必须大于 1，1 既不是质数也不是合数，最小的质数是 2。

• ❌ 认为所有偶数都是合数。✅ 2 是偶数，也是质数。

• ❌ 余数写成负数或比除数还大。✅ 余数 $r$r 满足 $0\le r\lt b$0≤r<b。

• ❌ 分东西「每份最大」用了最小公倍数。✅ 分成同样大小、没有剩余用最大公约数，周期重合才用最小公倍数。

• ❌ 判断能否被 4 整除时只看个位。✅ 要看末两位组成的数，比如 126 的个位是偶数，但 26 不能被 4 整除。

例题精讲

例题 1

两个质数的和是 25，它们的积是（　）。

A. 46　B. 66　C. 84　D. 114　E. 136

答案：A

解析：25 是奇数，两个数的和是奇数，必须一奇一偶。偶质数只有 2，所以另一个是 23，23 确实是质数。积是 $2\times23=46$2×23=46。

例题 2

甲每 6 天去一次图书馆，乙每 8 天去一次。某天两人同时去了图书馆，至少再过（　）天两人又会同时去。

A. 12　B. 14　C. 24　D. 36　E. 48

答案：C

解析：两人同时去的间隔是 6 和 8 的公倍数，最少是最小公倍数。$6=2\times3$6=2×3，$8=2^3$8=23，最小公倍数是 $2^3\times3=24$23×3=24。48 也是公倍数，但不是最少的。

例题 3（条件充分性判断）

结论：正整数 $n$n 除以 3 余 1。条件（1）：$n$n 除以 6 余 4；条件（2）：$n$n 除以 9 余 7。

答案：D

解析：条件（1）：$n=6k+4=3(2k+1)+1$n=6k+4=3(2k+1)+1，除以 3 余 1，充分。条件（2）：$n=9k+7=3(3k+2)+1$n=9k+7=3(3k+2)+1，除以 3 也余 1，充分。两个条件单独都充分，选 D。

本节小结

• 带余除法 $a=bq+r$a=bq+r，余数满足 $0\le r\lt b$0≤r<b；几个除数余数相同时，减去余数就是它们的公倍数。
• 记住 2、3、4、5、8、9、11 的整除特征，3 和 9 看各位数字之和，4 看末两位。
• 最大公约数取公共质因数的最低次幂，最小公倍数取所有质因数的最高次幂；两数之积等于最大公约数乘最小公倍数。
• 奇偶性：和的奇偶看奇数个数，积里有一个偶数就是偶数，相邻两整数之积是偶数。
• 1 不是质数，2 是唯一的偶质数；和为奇数的两个质数中必有 2。