概率与数据描述

本节导读

这一节讲数据分析的另外两块：概率和数据描述。概率部分考事件的运算、加法公式、乘法公式、古典概型和伯努利概型；数据描述部分考平均值、方差与标准差，以及直方图、饼图、数表这几种图表。

概率题的难点常在计数，上一节的排列组合在这里全用得上。学完这一节，你应该能用对立事件处理「至少」问题，会用独立事件的乘法公式和伯努利公式计算概率，能算平均值和方差，并知道数据整体加减或乘一个数时，平均值和方差怎样变化。

事件与概率公式

事件的运算

事件 $A$A 与 $B$B 至少有一个发生，叫和事件，记作 $A\cup B$A∪B；同时发生，叫积事件，记作 $AB$AB。不能同时发生的两个事件叫互斥事件；互斥并且必有一个发生，叫对立事件，$A$A 的对立事件记作 $\overline{A}$A。对立一定互斥，互斥不一定对立。

加法公式与乘法公式

公式	内容
加法公式	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
互斥时	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$P(A∪B)=P(A)+P(B)
对立事件	$P(\overline{A})=1-P(A)$P(A)=1−P(A)
独立事件的乘法公式	$P(AB)=P(A)P(B)$P(AB)=P(A)P(B)

两个事件互不影响，叫相互独立，比如两个人各自射击、两次分别抛硬币。例如甲、乙各自射击一次，命中率分别是 0.8 和 0.7，两人都命中的概率是 $0.8\times0.7=0.56$0.8×0.7=0.56；至少一人命中的概率是 $1-0.2\times0.3=0.94$1−0.2×0.3=0.94。

古典概型

如果试验的结果只有有限个，并且每个结果出现的可能性相等，就是古典概型，事件 $A$A 的概率是 $P(A)=\frac{m}{n}$P(A)=nm​，$n$n 是结果总数，$m$m 是 $A$A 包含的结果数。

计算时分子分母要用同一种口径：分母按组合数，分子也按组合数。例如掷两颗均匀的骰子，共 36 种等可能的结果，点数之和为 7 的有 6 种，概率是 $\frac{1}{6}$61​。「至少一个」的问题，常用 1 减去「一个也没有」的概率。

伯努利概型

同一个试验独立地重复做 $n$n 次，每次只有「成功」「失败」两种结果，每次成功的概率都是 $p$p，这叫 $n$n 重伯努利试验。恰好成功 $k$k 次的概率是

$$P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$$Pn​(k)=Cnk​pk(1−p)n−k

例如均匀的硬币抛 4 次，恰好 2 次正面的概率是 $C_4^2\times\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$C42​×(21​)4=166​=83​。公式里的 $C_n^k$Cnk​ 表示「哪几次成功」的选法，最容易漏掉。

数据描述

平均值、方差与标准差

$n$n 个数据 $x_1,x_2,\cdots,x_n$x1​,x2​,⋯,xn​ 的平均值是 $\bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$xˉ=nx1​+x2​+⋯+xn​​，方差是

$$s^2=\frac{1}{n}\left[(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2\right]$$s2=n1​[(x1​−xˉ)2+(x2​−xˉ)2+⋯+(xn​−xˉ)2]

标准差 $s$s 是方差的算术平方根。方差、标准差越大，数据越分散。例如 2、4、6、8、10 的平均值是 6，方差是 $\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$516+4+0+4+16​=8。

数据变换

变换	平均值	方差	标准差
每个数据都加上 $a$a	加 $a$a	不变	不变
每个数据都乘以 $k$k	乘 $k$k	乘 $k^2$k2	乘 $\lvert k\rvert$∣k∣