平面图形：三角形、四边形与圆

本节导读

平面几何考三角形、四边形（矩形、平行四边形、梯形）、圆与扇形，题目多是求长度、角度和面积，尤其是不规则的阴影面积。题目一般会配图，考的是公式熟不熟、能不能把复杂图形拆成简单图形。

学完这一节，你应该能熟练运用三角形的面积公式和边角关系，用勾股定理和相似三角形求线段和面积，记住几类四边形和扇形的面积公式，并会用「整体减空白」「割补」「重叠部分相加再减」求阴影面积。

三角形

边与角

三角形内角和是 $180^\circ$180∘，一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这是判断三条线段能否组成三角形的依据。在同一个三角形中，大边对大角。

面积

$$S=\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$$S=21​×底×高

由这个公式可以得到两个常用结论：等底等高的三角形面积相等；高相同的两个三角形，面积之比等于底之比。边长为 $a$a 的等边三角形，面积是 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$43​​a2。

特殊直角三角形

类型	三边之比
含 $30^\circ$30∘、$60^\circ$60∘ 的直角三角形	短直角边 : 长直角边 : 斜边 $=1:\sqrt{3}:2$=1:3​:2
等腰直角三角形	直角边 : 直角边 : 斜边 $=1:1:\sqrt{2}$=1:1:2​

勾股定理与相似

勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：$a^2+b^2=c^2$a2+b2=c2。反过来，三边满足这个关系的三角形是直角三角形。常见的勾股数有 3、4、5，5、12、13，8、15、17，7、24、25 以及它们的整数倍。直角三角形斜边上的高等于两直角边之积除以斜边。

相似三角形

两个三角形的对应角相等，或者对应边成比例，它们就相似。相似三角形的对应边、对应高、周长之比都等于相似比，面积之比等于相似比的平方。例如两个相似三角形的相似比是 $2:3$2:3，面积之比就是 $4:9$4:9。

三角形中有一条线段平行于一边时，截出的小三角形与原三角形相似，这是出题最多的相似模型。

四边形

图形	面积公式	补充
矩形	长 $\times$× 宽	对角线长 $\sqrt{a^2+b^2}$a2+b2​
正方形	边长的平方	也等于对角线平方的一半
平行四边形	底 $\times$× 高	对角线互相平分
梯形	$\frac{(\text{上底}+\text{下底})\times\text{高}}{2}$2(上底+下底)×高​	中位线等于上下底之和的一半
菱形	两条对角线乘积的一半	对角线互相垂直平分

菱形的四条边相等、对角线互相垂直平分，所以一条边和两条对角线的一半正好组成一个直角三角形，常和勾股定理一起用。

圆与扇形

公式

半径为 $r$r 的圆，周长 $C=2\pi r$C=2πr，面积 $S=\pi r^2$S=πr2。圆心角为 $n^\circ$n∘ 的扇形：

$$\text{弧长}\ l=\frac{n}{360}\times2\pi r,\quad \text{面积}\ S=\frac{n}{360}\times\pi r^2=\frac{1}{2}lr$$弧长 l=360n​×2πr,面积 S=360n​×πr2=21​lr

圆的几条性质

直径所对的圆周角是直角；同一段弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍；圆心到弦的距离 $d$d、半弦长与半径 $r$r 组成直角三角形，满足 $d^2+\left(\frac{\text{弦长}}{2}\right)^2=r^2$d2+(2弦长​)2=r2。

阴影面积

三种基本方法

方法	做法
整体减空白	阴影 $=$= 大图形面积 $-$− 不是阴影的部分
割补平移	把阴影的一部分移到别处，拼成规则图形
重叠相加再减	两个图形的重叠部分 $=$= 两个面积之和 $-$− 它们合起来的面积