整式、分式与因式分解

本节导读

代数部分从整式和分式开始。考试里很少直接问「把某个式子分解因式」，但乘法公式、因式分解和分式化简几乎是每道代数题的基本动作：求代数式的值、解方程、化简不等式都离不开它们。余式定理也常在问题求解里单独出一题。

学完这一节，你应该能熟练运用乘法公式及其变形求值，会用十字相乘法分解二次三项式，会用余式定理求多项式中的待定系数，并能化简分式、判断分式何时有意义、何时为 0。

整式与乘法公式

常用乘法公式

名称	公式
平方差	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$(a+b)(a−b)=a2−b2
完全平方	$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$(a±b)2=a2±2ab+b2
三数和的平方	$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
和与差的立方	$(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
立方和与立方差	$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)

公式的变形

求值题常常只给出 $a+b$a+b 和 $ab$ab，要你求别的式子，这时要把目标式写成 $a+b$a+b 与 $ab$ab 的组合：

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab,\quad a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$$a2+b2=(a+b)2−2ab,a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)

含倒数的式子同理，例如已知 $x+\frac{1}{x}=3$x+x1​=3，两边平方得 $x^2+2+\frac{1}{x^2}=9$x2+2+x21​=9，所以 $x^2+\frac{1}{x^2}=7$x2+x21​=7。

另一个常见变形是配方：$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right]$a2+b2+c2−ab−bc−ca=21​[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]，它等于 0 当且仅当 $a=b=c$a=b=c。

因式分解

四种基本方法

方法	适用	示意
提公因式	每一项都有公共因式	$6x^2y-9xy^2=3xy(2x-3y)$6x2y−9xy2=3xy(2x−3y)
公式法	符合平方差、完全平方、立方和差的形式	$4x^2-9=(2x+3)(2x-3)$4x2−9=(2x+3)(2x−3)
十字相乘	二次三项式 $ax^2+bx+c$ax2+bx+c	找两数积为 $c$c、和为 $b$b
分组分解	四项及以上，分组后能提公因式或用公式	先分组，再分解

十字相乘法

分解 $x^2+bx+c$x2+bx+c，就是找两个数 $p$p、$q$q，使 $pq=c$pq=c，$p+q=b$p+q=b，于是 $x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$x2+bx+c=(x+p)(x+q)。比如 $x^2-5x+6$x2−5x+6：积为 6、和为 $-5$−5 的两数是 $-2$−2 和 $-3$−3，所以 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$x2−5x+6=(x−2)(x−3)。

首项系数不是 1 时，把首项系数和常数项分别拆开交叉检验：$2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$2x2+x−3=(2x+3)(x−1)，展开后中间项是 $-2x+3x=x$−2x+3x=x，正好对上。

因式定理与余式定理

多项式 $f(x)$f(x) 除以 $x-a$x−a，余数等于 $f(a)$f(a)，这叫余式定理。特别地，$f(a)=0$f(a)=0 时 $x-a$x−a 是 $f(x)$f(x) 的一个因式。例如 $f(x)=x^3+2x^2-x-2$f(x)=x3+2x2−x−2，$f(1)=1+2-1-2=0$f(1)=1+2−1−2=0，所以 $x-1$x−1 是它的因式，继续分解得 $(x-1)(x+1)(x+2)$(x−1)(x+1)(x+2)。

分式及其运算

有意义与值为零

分式 $\frac{A}{B}$BA​ 有意义的条件是分母 $B\ne0$B=0；分式的值为 0，要同时满足分子 $A=0$A=0 且分母 $B\ne0$B=0，后一条最容易漏。

化简的步骤

分式的加减先通分，乘除先把分子分母都分解因式，再约去公因式。化简完成后，代值之前要检查所代的值有没有让原来的分母为 0。

常用技巧

分母是两个相邻因式的乘积时，可以裂项：$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$x(x+1)1​=x1​−x+11​。已知几个字母的比，求一个齐次分式的值时，设比值为 $k$k 或直接取特值。

易错提醒

• ❌ $(a+b)^2=a^2+b^2$(a+b)2=a2+b2。✅ 中间还有 $2ab$2ab，完全平方公式不能丢中间项。

• ❌ 分式的值为 0，只令分子为 0。✅ 还要检查分母不为 0，否则分式没有意义。

• ❌ 立方和公式写成 $a^3+b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$a3+b3=(a+b)(a2+ab+b2)。✅ 立方和的第二个因式中间是减号：$a^2-ab+b^2$a2−ab+b2。

• ❌ 十字相乘只凑积、不验和。✅ 拆完一定要展开检查，常数项和中间项都对上才算分解正确。

• ❌ 用余式定理时，除以 $x+2$x+2 却去算 $f(2)$f(2)。✅ $x+2=x-(-2)$x+2=x−(−2)，要算 $f(-2)$f(−2)。

例题精讲

例题 1

多项式 $x^3+ax^2+bx-6$x3+ax2+bx−6 能被 $x-1$x−1 和 $x-2$x−2 整除，则（　）。

A. $a=6$a=6，$b=-11$b=−11　B. $a=-6$a=−6，$b=11$b=11　C. $a=-6$a=−6，$b=-11$b=−11　D. $a=6$a=6，$b=11$b=11　E. $a=-5$a=−5，$b=10$b=10

答案：B

解析：由因式定理，$f(1)=0$f(1)=0，$f(2)=0$f(2)=0：$1+a+b-6=0$1+a+b−6=0，即 $a+b=5$a+b=5；$8+4a+2b-6=0$8+4a+2b−6=0，即 $2a+b=-1$2a+b=−1。两式相减得 $a=-6$a=−6，代入得 $b=11$b=11。验证：$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)。

例题 2

已知 $a+b=5$a+b=5，$ab=3$ab=3，则 $a^3+b^3=$a3+b3=（　）。

A. 65　B. 70　C. 80　D. 98　E. 125

答案：C

解析：$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=125-3\times3\times5=125-45=80$a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=125−3×3×5=125−45=80。选 E 是把 $(a+b)^3$(a+b)3 直接当成了 $a^3+b^3$a3+b3。

例题 3（条件充分性判断）

结论：分式 $\frac{x^2-1}{x+1}$x+1x2−1​ 的值为 0。条件（1）：$x=1$x=1；条件（2）：$x^2=1$x2=1。

答案：A

解析：条件（1）：分子 $1-1=0$1−1=0，分母 $1+1=2\ne0$1+1=2=0，分式值为 0，充分。条件（2）：$x=\pm1$x=±1，当 $x=-1$x=−1 时分母为 0，分式没有意义，不充分。

本节小结

• 熟记平方差、完全平方、三数和平方、和差的立方、立方和差五组公式。
• 已知 $a+b$a+b、$ab$ab 求值时，把目标式化成它们的组合；含倒数的式子两边平方。
• 因式分解四法：提公因式、公式法、十字相乘、分组分解；十字相乘要验中间项。
• 余式定理：$f(x)$f(x) 除以 $x-a$x−a 的余数是 $f(a)$f(a)，$f(a)=0$f(a)=0 时 $x-a$x−a 是因式。
• 分式有意义要分母不为 0；分式值为 0 要分子为 0 且分母不为 0。