应用题（二）：行程、工程与最值

本节导读

这一节接着讲应用题里的另外三类：行程问题、工程问题和最值问题。行程和工程的思路很像，都是「总量 $=$= 速度（效率）$\times$× 时间」；最值问题则要把实际问题写成函数，再用二次函数的顶点或均值不等式求最大、最小值。

学完这一节，你应该能分清相遇和追及、同向和反向，会算往返的平均速度，会用「总量设为 1」或「总量取公倍数」解合作与进出水问题，并能列出利润或面积的二次函数求最值。

行程问题

基本关系

所有行程题都围绕 $s=vt$s=vt（路程 $=$= 速度 $\times$× 时间）。两个物体同时运动时，看它们的距离是在缩小还是拉大：

类型	关系式
相遇（相向而行）	相距的路程 $=(v_1+v_2)\times t$=(v1​+v2​)×t
追及（同向而行）	落后的路程 $=(v_1-v_2)\times t$=(v1​−v2​)×t
环形跑道，反向	每相遇一次，两人合跑一圈
环形跑道，同向	每追上一次，快的比慢的多跑一圈
顺水、逆水	顺水速度 $=$= 船速 $+$+ 水速，逆水速度 $=$= 船速 $-$− 水速

由顺水、逆水速度可以反推：船速是两者之和的一半，水速是两者之差的一半。

平均速度

平均速度等于总路程除以总时间，不是速度的平均数。往返同一段路，去时速度 $v_1$v1​、回来速度 $v_2$v2​，平均速度是

$$\bar v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$vˉ=v1​+v2​2v1​v2​​

例如去时每小时 60 千米、回来每小时 40 千米，平均速度是 $\frac{2\times60\times40}{100}=48$1002×60×40​=48 千米每小时，而不是 50。

比例法

时间相同时，路程之比等于速度之比；路程相同时，时间之比等于速度的反比。很多行程题用比例思考，比列方程快。

工程问题

基本关系

工作总量 $=$= 工作效率 $\times$× 工作时间。总量没有给出时，把它设为 1，单独做要 $a$a 天，效率就是 $\frac{1}{a}$a1​；也可以把总量设成各个时间的最小公倍数，避免分数。

例如甲单独做 10 天完成、乙单独做 15 天完成，合作的效率是 $\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6}$101​+151​=61​，合作 6 天完成。设总量为 30 也一样：甲每天 3、乙每天 2，合作每天 5，$30\div5=6$30÷5=6 天。

进水与出水

水池问题是工程问题的变形：进水管的效率记为正，出水管的效率记为负，同时打开时的效率是两者的代数和。

最值问题

用二次函数

「定价多少利润最大」「怎样围面积最大」这类题，设一个变量，把利润或面积写成二次函数，再求顶点。比如售价每涨 1 元、销量减少若干件，利润 $=$=（每件利润）$\times$×（销量），两个因式都含变量，乘出来就是开口向下的抛物线。