数列：等差数列与等比数列

本节导读

数列是代数部分的固定考点，几乎每套卷子都有一到两道，问题求解和条件充分性判断都可能出现。考查集中在等差数列和等比数列：通项公式、求和公式和几条常用性质。

数列题的特点是公式少、性质好用。正面列方程能做，但用性质往往一步出答案。学完这一节，你应该能从前 $n$n 项和求出通项，熟练运用两类数列的公式，并会用「下标和相等」「片段和成等差」等性质速解。

数列的通项与前 n 项和

数列的第 $n$n 项记作 $a_n$an​，前 $n$n 项的和记作 $S_n$Sn​。已知 $S_n$Sn​ 求 $a_n$an​，用

$$a_n=\begin{cases}S_1, & n=1\\ S_n-S_{n-1}, & n\ge2\end{cases}$$an​={S1​,Sn​−Sn−1​,​n=1n≥2​

最后要检验 $n=1$n=1 时是否符合 $n\ge2$n≥2 时的式子。例如 $S_n=n^2+n$Sn​=n2+n，$n\ge2$n≥2 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=2n$an​=Sn​−Sn−1​=2n；而 $a_1=S_1=2$a1​=S1​=2 也符合，所以 $a_n=2n$an​=2n。

等差数列

公式

从第二项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数 $d$d（公差），这样的数列叫等差数列。

$$a_n=a_1+(n-1)d,\quad S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$$an​=a1​+(n−1)d,Sn​=2n(a1​+an​)​=na1​+2n(n−1)​d

常用性质

性质	内容
下标和	若 $m+n=p+q$m+n=p+q，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$am​+an​=ap​+aq​
等差中项	$a$a、$b$b、$c$c 成等差数列，则 $2b=a+c$2b=a+c
项数为奇数的和	$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$S2n−1​=(2n−1)an​（前 $2n-1$2n−1 项和等于项数乘中间项）
片段和	$S_n$Sn​、$S_{2n}-S_n$S2n​−Sn​、$S_{3n}-S_{2n}$S3n​−S2n​ 也成等差数列
和的形式	$S_n=An^2+Bn$Sn​=An2+Bn，常数项一定为 0

下标和性质最常用。例如 $a_3+a_7=10$a3​+a7​=10，因为 $3+7=5+5$3+7=5+5，所以 $2a_5=10$2a5​=10，$a_5=5$a5​=5，再用项数为奇数的求和公式得 $S_9=9a_5=45$S9​=9a5​=45。

等比数列

公式

从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数 $q$q（公比），这样的数列叫等比数列，各项都不为 0。

$$a_n=a_1q^{n-1},\quad S_n=\begin{cases}na_1, & q=1\\ \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q\ne1\end{cases}$$an​=a1​qn−1,Sn​=⎩⎨⎧​na1​,1−qa1​(1−qn)​,​q=1q=1​

常用性质

性质	内容
下标和	若 $m+n=p+q$m+n=p+q，则 $a_ma_n=a_pa_q$am​an​=ap​aq​
等比中项	$a$a、$b$b、$c$c 成等比数列，则 $b^2=ac$b2=ac
片段和	$S_n$Sn​、$S_{2n}-S_n$S2n​−Sn​、$S_{3n}-S_{2n}$S3n​−S2n​ 在不为 0 时也成等比数列
无穷递缩（拓展）	$\lvert q\rvert\lt1$∣q∣<1 时，所有项的和是 $\frac{a_1}{1-q}$1−qa1​​（要用到极限，大纲未单列，了解即可）

用等比数列求和公式之前，先看 $q$q 是不是 1；题目只给「公比为 $q$q」时，常要分 $q=1$q=1 和 $q\ne1$q=1 两种情况讨论。

两类数列对照

项目	等差数列	等比数列
定义	后项减前项是常数	后项除以前项是常数
通项	$a_1+(n-1)d$a1​+(n−1)d	$a_1q^{n-1}$a1​qn−1
中项	$2b=a+c$2b=a+c	$b^2=ac$b2=ac
下标和	两项之和相等	两项之积相等

记忆方法：等差数列里的「加」，换到等比数列里就是「乘」；等差数列里的「乘以 $d$d」，换到等比数列里就是「$q$q 的乘方」。

易错提醒

• ❌ 由 $S_n$Sn​ 求 $a_n$an​ 时只写 $S_n-S_{n-1}$Sn​−Sn−1​。✅ 这个式子只对 $n\ge2$n≥2 成立，$a_1$a1​ 要用 $S_1$S1​ 单独求，再检验是否合并。

• ❌ 等比数列求和直接套 $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$1−qa1​(1−qn)​。✅ 先确认 $q\ne1$q=1；$q=1$q=1 时 $S_n=na_1$Sn​=na1​。

• ❌ 由 $b^2=ac$b2=ac 直接断定 $a$a、$b$b、$c$c 成等比数列。✅ 还要三个数都不为 0，比如 0、0、5 满足 $b^2=ac$b2=ac，却不是等比数列。

• ❌ 把等差数列的下标和性质用成 $a_2+a_8=a_{10}$a2​+a8​=a10​。✅ 两边都必须是两项，下标之和相等：$a_2+a_8=a_4+a_6$a2​+a8​=a4​+a6​。

• ❌ 由 $a_4^2=36$a42​=36 直接写 $a_4=6$a4​=6。✅ 要看各项的符号，题目说各项为正才能只取正值。

例题精讲

例题 1

等差数列 $\{a_n\}${an​} 中，$a_4+a_5+a_6=27$a4​+a5​+a6​=27，则前 9 项和 $S_9=$S9​=（　）。

A. 54　B. 72　C. 81　D. 90　E. 243

答案：C

解析：由下标和性质，$a_4+a_6=2a_5$a4​+a6​=2a5​，所以 $3a_5=27$3a5​=27，$a_5=9$a5​=9。$S_9=9a_5=81$S9​=9a5​=81。不必求出首项和公差。

例题 2

各项都是正数的等比数列 $\{a_n\}${an​} 中，$a_2=2$a2​=2，$a_4=8$a4​=8，则前 6 项和 $S_6=$S6​=（　）。

A. 31　B. 32　C. 62　D. 63　E. 64

答案：D

解析：$q^2=\frac{a_4}{a_2}=4$q2=a2​a4​​=4，各项为正，$q=2$q=2，$a_1=1$a1​=1。$S_6=\frac{1\times(1-2^6)}{1-2}=63$S6​=1−21×(1−26)​=63。选 E 是把第 7 项 $2^6$26 当成了和。

例题 3（条件充分性判断）

结论：数列 $\{a_n\}${an​} 是等差数列。条件（1）：前 $n$n 项和 $S_n=n^2+1$Sn​=n2+1；条件（2）：前 $n$n 项和 $S_n=2n^2-n$Sn​=2n2−n。

答案：B

解析：等差数列的前 $n$n 项和形如 $An^2+Bn$An2+Bn，常数项为 0。条件（1）有常数项：$a_1=2$a1​=2，$a_2=S_2-S_1=3$a2​=S2​−S1​=3，$a_3=S_3-S_2=5$a3​=S3​−S2​=5，差不相等，不充分。条件（2）：$a_n=4n-3$an​=4n−3，$n=1$n=1 时也成立，公差为 4，充分。

本节小结

• 由 $S_n$Sn​ 求 $a_n$an​：$n\ge2$n≥2 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$an​=Sn​−Sn−1​，$a_1=S_1$a1​=S1​ 单独求。
• 等差：$a_n=a_1+(n-1)d$an​=a1​+(n−1)d，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$Sn​=2n(a1​+an​)​；下标和相等则两项之和相等，$S_{2n-1}=(2n-1)a_n$S2n−1​=(2n−1)an​。
• 等比：$a_n=a_1q^{n-1}$an​=a1​qn−1，求和先分 $q=1$q=1 与 $q\ne1$q=1；下标和相等则两项之积相等。
• 片段和 $S_n$Sn​、$S_{2n}-S_n$S2n​−Sn​、$S_{3n}-S_{2n}$S3n​−S2n​ 在等差数列里成等差，在等比数列里（不为 0 时）成等比。
• 等差数列的 $S_n$Sn​ 没有常数项；$b^2=ac$b2=ac 判等比时三个数都不能为 0。