功、功率与机械能守恒

本节导读

用牛顿定律解题要抓住过程中的每一时刻，而用功和能的方法只看开头和结尾两个状态，常常简单得多。这一节是力学的第二条主线：功和功率的计算，动能定理，重力势能，机械能守恒定律。

选择题常考某个力做不做功、机械能守不守恒；填空题和计算题常考用动能定理或机械能守恒求速度、高度、摩擦力。学完这一节，你应该会算功和功率，会写动能定理，会判断机械能守恒的条件，并会列守恒方程。本课程中 $g$g 取 $10\,\mathrm{m/s^2}$10m/s2。

功与功率

功

力对物体做的功等于力的大小、位移的大小，以及力与位移夹角余弦的乘积：

$$W=Fl\cos\alpha$$W=Flcosα

功是标量，单位焦耳（$\mathrm{J}$J）。$\alpha<90^\circ$α<90∘ 时力做正功，$\alpha=90^\circ$α=90∘ 时力不做功，$\alpha>90^\circ$α>90∘ 时力做负功，也说物体克服这个力做了功。几种常见力的做功特点：

力	做功特点
重力	与路径无关，只与初末位置的高度差有关，$W_G=mgh$WG​=mgh（$h$h 为下降的高度）
滑动摩擦力	与路径有关；物体在固定的接触面上滑动时 $W=-fs$W=−fs（$s$s 为路程），同时产生内能；滑动摩擦力也可以做正功，并非总做负功
与速度垂直的力	不做功，如匀速圆周运动中的向心力、洛伦兹力

功率

功率表示做功的快慢。平均功率 $P=\dfrac{W}{t}$P=tW​；力与速度同向时，瞬时功率 $P=Fv$P=Fv。

$$P=\dfrac{W}{t},\qquad P=Fv\cos\alpha$$P=tW​,P=Fvcosα

汽车以恒定功率启动时，由 $P=Fv$P=Fv，速度增大则牵引力减小，加速度减小，直到牵引力等于阻力，速度达到最大值 $v_m=\dfrac{P}{f}$vm​=fP​。

动能与动能定理

物体由于运动而具有的能量叫动能，$E_k=\dfrac12mv^2$Ek​=21​mv2，是标量。动能定理：合力对物体做的总功等于物体动能的变化量：

$$W_{\text{合}}=\dfrac12mv_2^2-\dfrac12mv_1^2$$W合​=21​mv22​−21​mv12​

动能定理只看过程的初末状态，不管中间怎样运动，所以对变力做功、曲线运动同样适用。使用时要把所有力做的功代数和写全，阻力做功用负值。

重力势能与机械能守恒

重力势能

物体由于被举高而具有的能量叫重力势能，$E_p=mgh$Ep​=mgh，$h$h 是物体相对于零势能面的高度，物体在零势能面下方时 $E_p$Ep​ 为负。重力做功等于重力势能的减少量：

$$W_G=E_{p1}-E_{p2}=-\Delta E_p$$WG​=Ep1​−Ep2​=−ΔEp​

机械能守恒定律

动能和势能统称机械能。在只有重力（或弹簧弹力）做功的情形下，物体的动能和势能可以互相转化，机械能的总量保持不变：

$$\dfrac12mv_1^2+mgh_1=\dfrac12mv_2^2+mgh_2$$21​mv12​+mgh1​=21​mv22​+mgh2​

判断条件：只有重力或弹簧弹力做功；如果还有别的力，它们不做功或做功代数和为零，也守恒。判断机械能是否守恒，不看合力是否为零，要看除重力、弹力外有没有其他力做功。

功能关系

没有满足机械能守恒条件时，可以用功能关系分析能量的转化：

力做功的情形	对应的能量变化
合力做功	动能的变化
重力做功	重力势能的变化，$W_G=-\Delta E_p$WG​=−ΔEp​
除重力、弹力以外的力做功	机械能的变化
滑动摩擦力与相对路程的乘积	转化成的内能

易错提醒

• ❌ 功是矢量，有方向。
  ✅ 功是标量，正负只表示是动力做功还是阻力做功。
  比较做功的多少看绝对值，$-5\,\mathrm{J}$−5J 和 $5\,\mathrm{J}$5J 做功一样多，只是一个是阻力做功，一个是动力做功。

• ❌ 物体发生了位移，力就一定做功。
  ✅ 力与位移垂直时不做功。
  提着箱子在水平路面上走，提箱子的力不做功。

• ❌ 重力做的功与物体运动的路径有关。
  ✅ 重力做功只与初末位置的高度差有关。
  沿斜面滑下和直接落下，下降高度相同，重力做功相同。

• ❌ 合力为零，机械能就守恒。
  ✅ 要看除重力、弹力外有没有其他力做功。
  匀速下降的物体合力为零，但动能不变、重力势能减少，机械能减少。

• ❌ 功率越大，做的功一定越多。
  ✅ 功等于功率与时间的乘积，只比较功率不够。
  功率大只说明做功快。

例题精讲

例题 1

用与水平方向成 $60^\circ$60∘ 的 $20\,\mathrm{N}$20N 的拉力，拉着物体沿水平地面前进 $5\,\mathrm{m}$5m，拉力所做的功是：

A. $100\,\mathrm{J}$100J　　B. $50\,\mathrm{J}$50J　　C. $86.6\,\mathrm{J}$86.6J　　D. $25\,\mathrm{J}$25J

答案：B

解析：$W=Fl\cos\alpha=20\times5\times\cos60^\circ=20\times5\times0.5=50\,\mathrm{J}$W=Flcosα=20×5×cos60∘=20×5×0.5=50J。A 漏了 $\cos\alpha$cosα，C 把夹角当成了 $30^\circ$30∘，D 多乘了一个 $\dfrac12$21​。

例题 2

质量为 $2\,\mathrm{kg}$2kg 的物体从离地 $5\,\mathrm{m}$5m 高处自由下落，不计空气阻力，落地时的动能是：

A. $50\,\mathrm{J}$50J　　B. $100\,\mathrm{J}$100J　　C. $200\,\mathrm{J}$200J　　D. $10\,\mathrm{J}$10J

答案：B

解析：只有重力做功，机械能守恒：$\dfrac12mv^2=mgh=2\times10\times5=100\,\mathrm{J}$21​mv2=mgh=2×10×5=100J，此时 $v=10\,\mathrm{m/s}$v=10m/s。A 是多乘了 $\dfrac12$21​，C 是 $2mgh$2mgh。

例题 3

质量为 $1\,\mathrm{kg}$1kg 的物体以 $10\,\mathrm{m/s}$10m/s 的初速度在粗糙水平面上滑行，滑行 $20\,\mathrm{m}$20m 后停下，物体与水平面间的动摩擦因数是：

A. $0.1$0.1　　B. $0.2$0.2　　C. $0.25$0.25　　D. $0.5$0.5

答案：C

解析：由动能定理，摩擦力做的负功等于动能的减少量：$-fx=0-\dfrac12mv^2$−fx=0−21​mv2，$f=\dfrac{\frac12\times1\times10^2}{20}=2.5\,\mathrm{N}$f=2021​×1×102​=2.5N。又 $f=\mu mg$f=μmg，所以 $\mu=\dfrac{2.5}{1\times10}=0.25$μ=1×102.5​=0.25。D 是漏掉了动能公式里的 $\dfrac12$21​。

本节小结

• 功 $W=Fl\cos\alpha$W=Flcosα 是标量；重力做功只与高度差有关，$W_G=mgh$WG​=mgh；与速度垂直的力不做功。
• 功率 $P=\dfrac{W}{t}$P=tW​、$P=Fv$P=Fv；恒定功率行驶的最大速度 $v_m=\dfrac{P}{f}$vm​=fP​。
• 动能定理：合力做的总功等于动能的变化，对变力和曲线运动都适用。
• 重力做功等于重力势能的减少；只有重力（弹力）做功时机械能守恒，守恒方程 $\dfrac12mv_1^2+mgh_1=\dfrac12mv_2^2+mgh_2$21​mv12​+mgh1​=21​mv22​+mgh2​。
• 除重力、弹力外的力做功等于机械能的变化；滑动摩擦力乘相对路程等于产生的内能。