重力、弹力与摩擦力

本节导读

后面的力的合成、平衡和牛顿定律，都要先把物体受到的力找全找对。这一节讲力学里最常见的三种力：重力、弹力、摩擦力。选择题常考弹力和摩擦力“有没有、朝哪边”，填空题和计算题常考胡克定律和摩擦力的大小。

学完这一节，你应该能判断弹力和摩擦力的有无与方向，会用胡克定律 $F=kx$F=kx 和滑动摩擦力公式 $f=\mu N$f=μN 计算，并分清静摩擦力大小该怎么求。

力和重力

力是物体对物体的作用，作用是相互的，有大小、方向和作用点三个要素，是矢量，单位是牛顿（$\mathrm{N}$N）。

重力是由于地球的吸引而使物体受到的力。大小 $G=mg$G=mg，方向竖直向下。物体各部分都受重力，为了研究方便，把重力的作用等效集中在一点，这一点叫重心。质量分布均匀、形状规则的物体，重心在它的几何中心；重心不一定在物体上，比如圆环的重心在圆心。

弹力

两个物体接触并且发生弹性形变，才会产生弹力。“接触”和“形变”缺一不可，仅仅接触而没有挤压，就没有弹力。判断有没有弹力，可以用假设法：假设撤去接触的物体，看被研究的物体状态会不会改变。

弹力的方向总是与施力物体形变的方向相反：压力、支持力垂直于接触面，绳的拉力和弹簧的弹力沿着绳和弹簧的轴线，见下表：

类型	弹力方向
压力、支持力	垂直于接触面，支持力指向被支持的物体
绳的拉力	沿绳，指向绳收缩的方向
轻弹簧的弹力	沿弹簧的轴线，拉伸时指向弹簧，压缩时背离弹簧

胡克定律

在弹性限度内，弹簧弹力的大小跟形变量成正比：

$$F=kx$$F=kx

其中 $k$k 是劲度系数，单位是 $\mathrm{N/m}$N/m，由弹簧自身的材料和结构决定；$x$x 是形变量，也就是伸长或压缩的长度，不是弹簧的总长度。

摩擦力

滑动摩擦力

两个物体接触面粗糙、相互挤压并且发生相对滑动，就会产生滑动摩擦力。方向与相对运动的方向相反，大小：

$$f=\mu N$$f=μN

$\mu$μ 是动摩擦因数，没有单位；$N$N 是接触面间的压力，不一定等于物体的重力。

静摩擦力

两个物体相对静止，但有相对运动的趋势，接触面粗糙又相互挤压，就会产生静摩擦力。方向与相对运动趋势的方向相反，大小要根据物体的受力平衡（或牛顿第二定律）来求，在 $0$0 和最大静摩擦力 $f_{\max}$fmax​ 之间。题目没有特别说明时，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

比较项	滑动摩擦力	静摩擦力
条件	相对滑动	有相对运动趋势，但相对静止
方向	与相对运动方向相反	与相对运动趋势方向相反
大小	$f=\mu N$f=μN	由平衡条件求，不超过最大静摩擦力

摩擦力“阻碍”的是相对运动或相对运动趋势，不是“阻碍运动”。人走路时脚受到的静摩擦力向前，是动力；传送带把物体带着前进，物体受到的摩擦力也是动力。

易错提醒

• ❌ 摩擦力总是阻碍物体的运动。
  ✅ 摩擦力阻碍的是相对运动或相对运动趋势，可以是动力。
  人走路、传送带运货时，摩擦力都在帮助物体前进。

• ❌ 滑动摩擦力一律用 $f=\mu mg$f=μmg 计算。
  ✅ $f=\mu N$f=μN，$N$N 是压力。
  斜面上或有竖直方向的拉力时，压力不等于重力。

• ❌ 静摩擦力的大小等于 $\mu N$μN。
  ✅ 静摩擦力由平衡条件求；只有最大静摩擦力才与 $\mu N$μN 差不多。
  用 $10\,\mathrm{N}$10N 的力没推动物体，静摩擦力就是 $10\,\mathrm{N}$10N。

• ❌ 弹簧弹力 $F=kx$F=kx 里的 $x$x 是弹簧的长度。
  ✅ $x$x 是形变量，即伸长或压缩的长度。
  弹簧长度 $12\,\mathrm{cm}$12cm、原长 $10\,\mathrm{cm}$10cm，$x$x 是 $2\,\mathrm{cm}$2cm。

• ❌ 静止在桌面上的物体，压力就是重力。
  ✅ 压力和重力是性质不同、作用在不同物体上的两个力，只是平衡时数值相等。
  受力分析时，物体受的是支持力和重力，不是压力。

例题精讲

例题 1

一根弹簧原长 $10\,\mathrm{cm}$10cm，挂上 $2\,\mathrm{N}$2N 的重物时长度变为 $12\,\mathrm{cm}$12cm。弹簧仍在弹性限度内，挂上 $5\,\mathrm{N}$5N 的重物时，弹簧的长度是：

A. $12.5\,\mathrm{cm}$12.5cm　　B. $15\,\mathrm{cm}$15cm　　C. $20\,\mathrm{cm}$20cm　　D. $25\,\mathrm{cm}$25cm

答案：B

解析：伸长量 $x_1=2\,\mathrm{cm}=0.02\,\mathrm{m}$x1​=2cm=0.02m，劲度系数 $k=\dfrac{F_1}{x_1}=\dfrac{2}{0.02}=100\,\mathrm{N/m}$k=x1​F1​​=0.022​=100N/m。挂 $5\,\mathrm{N}$5N 时伸长量 $x_2=\dfrac{5}{100}=0.05\,\mathrm{m}=5\,\mathrm{cm}$x2​=1005​=0.05m=5cm，长度为 $10+5=15\,\mathrm{cm}$10+5=15cm。

例题 2

质量为 $5\,\mathrm{kg}$5kg 的木箱放在水平地面上，用水平推力推它做匀速直线运动，木箱与地面间的动摩擦因数为 $0.4$0.4，则推力的大小为（$g$g 取 $10\,\mathrm{m/s^2}$10m/s2）：

A. $2\,\mathrm{N}$2N　　B. $20\,\mathrm{N}$20N　　C. $50\,\mathrm{N}$50N　　D. $200\,\mathrm{N}$200N

答案：B

解析：水平地面上压力 $N=mg=5\times10=50\,\mathrm{N}$N=mg=5×10=50N，滑动摩擦力 $f=\mu N=0.4\times50=20\,\mathrm{N}$f=μN=0.4×50=20N。匀速运动，推力与摩擦力平衡，所以推力为 $20\,\mathrm{N}$20N。

例题 3

重 $50\,\mathrm{N}$50N 的木块放在水平地面上。用 $10\,\mathrm{N}$10N 的水平力推它，木块不动；用 $22\,\mathrm{N}$22N 的水平力推时木块恰好开始滑动；木块滑动后，用 $20\,\mathrm{N}$20N 的水平力能使它匀速运动。木块与地面间的动摩擦因数是：

A. $0.2$0.2　　B. $0.4$0.4　　C. $0.44$0.44　　D. $0.5$0.5

答案：B

解析：动摩擦因数由滑动摩擦力计算。匀速运动时滑动摩擦力等于推力 $20\,\mathrm{N}$20N，压力 $N=50\,\mathrm{N}$N=50N，$\mu=\dfrac{f}{N}=\dfrac{20}{50}=0.4$μ=Nf​=5020​=0.4。$22\,\mathrm{N}$22N 是最大静摩擦力，用它算出的 $0.44$0.44 不是动摩擦因数。

本节小结

• 重力 $G=mg$G=mg，方向竖直向下；质量分布均匀、形状规则的物体，重心在几何中心。
• 弹力要“接触加形变”，压力和支持力垂直于接触面，绳的拉力沿绳；弹簧弹力 $F=kx$F=kx，$x$x 是形变量。
• 滑动摩擦力 $f=\mu N$f=μN，方向与相对运动方向相反；$N$N 是压力。
• 静摩擦力方向与相对运动趋势方向相反，大小由平衡条件求，不超过最大静摩擦力。
• 摩擦力阻碍的是相对运动或相对运动趋势，可以是阻力，也可以是动力。