力的合成与分解、共点力的平衡

本节导读

力学里几乎所有的计算题，第一步都是受力分析，第二步就是把力合成或分解。这一节讲三件事：怎样求几个力的合力，怎样把一个力分解开，物体处在平衡状态时力要满足什么条件。

在试卷上，选择题常考合力的范围、受力分析的个数；填空题和计算题常考斜面上的平衡和绳悬挂的平衡，要用正交分解列方程。学完这一节，你应该会用平行四边形定则和三角函数求合力与分力，会画受力图，会用“合力为零”解平衡问题。本课程中 $g$g 取 $10\,\mathrm{m/s^2}$10m/s2，并且取 $\sin37^\circ=0.6$sin37∘=0.6，$\cos37^\circ=0.8$cos37∘=0.8。

力的合成

合力与平行四边形定则

如果一个力产生的效果跟几个力共同产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力叫这个力的分力。求几个力的合力叫力的合成。力是矢量，合成遵守平行四边形定则：以两个分力为邻边作平行四边形，两条邻边所夹的对角线就表示合力的大小和方向。

两个力的夹角为 $\theta$θ 时，合力的大小为：

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}$$F=F12​+F22​+2F1​F2​cosθ​

几个常用的特殊情形：

两力的夹角	合力的大小
$0^\circ$0∘（同向）	$F_1+F_2$F1​+F2​，最大
$180^\circ$180∘（反向）	$\lvert F_1-F_2\rvert$∣F1​−F2​∣，最小
$90^\circ$90∘	$\sqrt{F_1^2+F_2^2}$F12​+F22​​
$120^\circ$120∘ 且 $F_1=F_2$F1​=F2​	等于 $F_1$F1​

合力的范围

两个力的合力大小介于最小值和最大值之间，夹角越大，合力越小：

$$\lvert F_1-F_2\rvert\le F\le F_1+F_2$$∣F1​−F2​∣≤F≤F1​+F2​

三个力的合力，最大值是三个力的大小之和；如果其中最大的一个力不超过另外两个力之和，最小值是 0，否则最小值等于最大的力减去另外两个力之和。

力的分解

按作用效果分解

力的分解是合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则。一个力可以分解成无数对分力，通常按这个力产生的实际效果来分解。斜面上物体的重力有两个效果：使物体沿斜面下滑，同时把物体压紧斜面，所以分解成沿斜面向下的分力和垂直于斜面的分力：

$$G_1=mg\sin\theta,\qquad G_2=mg\cos\theta$$G1​=mgsinθ,G2​=mgcosθ

其中 $\theta$θ 是斜面的倾角。

正交分解

遇到三个或更多的力时，常建立直角坐标系，把每个力沿 $x$x、$y$y 轴分解，再分别求两个方向的合力。坐标轴的方向要选得使尽量多的力落在轴上，比如斜面问题常取沿斜面和垂直斜面两个方向。

受力分析

受力分析就是找出物体受到的所有力并画出示意图。按下面的顺序找，不容易漏：

步骤	做法
选对象	把要研究的物体隔离出来，只画它受到的力
先画重力	重力一定有，方向竖直向下
再画弹力	沿着物体与周围物体的接触面逐个检查有没有挤压或拉伸
再画摩擦力	有弹力、接触面粗糙、有相对运动或相对运动趋势才有
最后画其他力	题目给出的拉力、推力；带电体还要考虑电场力、磁场力

画出来的都是物体实际受到的力，每个力都有施力物体。分力和合力不要同时画，物体对别的物体的力也不画在这个物体上。

共点力的平衡

物体保持静止或者匀速直线运动的状态叫平衡状态。几个力作用在物体的同一点，或者力的作用线交于一点，这样的力叫共点力。共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，用正交分解写出来，就是两个方向的合力都为零：

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0$$∑Fx​=0,∑Fy​=0

由平衡条件可以推出两个常用结论：

• 三个力平衡时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反。
• 多个力平衡时，其中任意一个力与其余所有力的合力大小相等、方向相反。

斜面上物体的平衡

物体静止在斜面上，沿斜面方向静摩擦力 $f=mg\sin\theta$f=mgsinθ，垂直斜面方向支持力 $N=mg\cos\theta$N=mgcosθ。物体沿斜面匀速下滑时，滑动摩擦力 $\mu mg\cos\theta$μmgcosθ 与下滑分力平衡，$mg\sin\theta=\mu mg\cos\theta$mgsinθ=μmgcosθ，得 $\mu=\tan\theta$μ=tanθ，结果与物体的质量无关。

解平衡题的步骤是：选对象、做受力分析、建坐标系分解、列方程 $\sum F_x=0$∑Fx​=0 与 $\sum F_y=0$∑Fy​=0、求解并检查。

易错提醒

• ❌ 合力一定比分力大。
  ✅ 合力可以大于、等于或小于其中一个分力，要看两力的夹角。
  两个反向的力，合力就小于其中较大的分力。

• ❌ 受力图上既画重力，又画重力沿斜面的分力 $mg\sin\theta$mgsinθ。
  ✅ 分力是重力的效果，不是另一个力，二者不能同时画。
  画了分力，就不再画重力；通常只画重力，计算时再分解。

• ❌ 斜面上物体对斜面的压力就是重力的分力 $mg\cos\theta$mgcosθ。
  ✅ 压力是弹力，作用在斜面上；二者只是大小相等，不是同一个力。
  受力分析时，物体受到的是斜面的支持力。

• ❌ 速度为零的物体一定处于平衡状态。
  ✅ 平衡的条件是合力为零。
  竖直上抛到最高点，速度为零，但只受重力，合力不为零，不是平衡状态。

• ❌ 三个力平衡，其中两个力是 3 N 和 5 N，第三个力可以是 1 N。
  ✅ 第三个力必须与前两个力的合力等大反向，范围是 2 N 到 8 N。
  1 N 小于 2 N，三个力不能平衡。

例题精讲

例题 1

作用在同一个物体上的两个力，大小分别为 3 N 和 4 N，方向互相垂直，它们的合力大小是：

A. 1 N　　B. 5 N　　C. 7 N　　D. 12 N

答案：B

解析：两力垂直时，合力 $F=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{N}$F=32+42​=5N。A 是两力方向相反时的合力，C 是两力同向时的合力，D 是两力大小相乘，都不符合题意。

例题 2

质量为 $2\,\mathrm{kg}$2kg 的物体静止在倾角为 $30^\circ$30∘ 的斜面上，物体受到的静摩擦力大小是（$g$g 取 $10\,\mathrm{m/s^2}$10m/s2）：

A. 10 N　　B. 17.3 N　　C. 20 N　　D. 0

答案：A

解析：物体静止，沿斜面方向受力平衡，静摩擦力等于重力沿斜面向下的分力：$f=mg\sin30^\circ=2\times10\times0.5=10\,\mathrm{N}$f=mgsin30∘=2×10×0.5=10N。B 是垂直斜面的分力 $mg\cos30^\circ$mgcos30∘，C 是重力本身，D 忽略了摩擦力，没有摩擦力物体就会下滑。

例题 3

重 40 N 的灯用轻绳 OA 和水平轻绳 OB 悬挂在 O 点，处于静止，OA 与竖直方向的夹角为 $37^\circ$37∘，则绳 OA 的拉力大小是：

A. 30 N　　B. 40 N　　C. 50 N　　D. 70 N

答案：C

解析：O 点受三个力平衡。竖直方向：$T_A\cos37^\circ=G$TA​cos37∘=G，得 $T_A=\dfrac{40}{0.8}=50\,\mathrm{N}$TA​=0.840​=50N；水平方向：$T_B=T_A\sin37^\circ=30\,\mathrm{N}$TB​=TA​sin37∘=30N。A 是绳 OB 的拉力。

本节小结

• 合力与分力等效，合成与分解都遵守平行四边形定则；两力夹角为 $\theta$θ 时 $F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}$F=F12​+F22​+2F1​F2​cosθ​。
• 两个力的合力范围是 $\lvert F_1-F_2\rvert\le F\le F_1+F_2$∣F1​−F2​∣≤F≤F1​+F2​；三个力平衡时，任意一个力在另两个力的合力范围内。
• 斜面上重力的两个分力：沿斜面 $mg\sin\theta$mgsinθ，垂直斜面 $mg\cos\theta$mgcosθ。
• 受力分析的顺序：重力、弹力、摩擦力、其他力；分力和合力不画。
• 共点力平衡条件是合力为零，即 $\sum F_x=0$∑Fx​=0、$\sum F_y=0$∑Fy​=0；匀速下滑的斜面上 $\mu=\tan\theta$μ=tanθ。