电势、电势差与电容器

本节导读

上一节研究了电场的“力”，这一节研究电场的“能”：电场力做功、电势能、电势和电势差；再把电场的知识用到两个对象上，一个是电容器，一个是带电粒子在电场中的加速和偏转。

在试卷上，选择题常考电势高低和电势能大小的判断、电容器的动态分析；填空题和计算题常考 $U=Ed$U=Ed、$W=qU$W=qU，以及带电粒子加速、偏转的计算。学完这一节，你应该能判断电势能和电势的变化，会算电场力做的功，会分析电容器两种情形下各量的变化，会用动能定理和类平抛的方法处理带电粒子的运动。

电场力做功与电势能

电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。电场力做的功等于电势能的减少量：

$$W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}$$WAB​=EpA​−EpB​

电场力做正功，电势能减少；电场力做负功（克服电场力做功），电势能增加。电势能是电荷与电场共有的，数值与零势能点的选取有关，$E_p=q\varphi$Ep​=qφ。

电势与电势差

电势

电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量的比值，叫该点的电势：

$$\varphi=\dfrac{E_p}{q}$$φ=qEp​​

电势是标量，沿电场线的方向电势降低。电势的数值与零电势点的选取有关，通常取无穷远处或大地的电势为零。判断电势能高低的规则是：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小。

电势差

电场中两点电势之差叫电势差，也叫电压，它与零电势点的选取无关：

$$U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B=\dfrac{W_{AB}}{q}$$UAB​=φA​−φB​=qWAB​​

计算电场力做功 $W_{AB}=qU_{AB}$WAB​=qUAB​ 时，$q$q 和 $U_{AB}$UAB​ 都要带正负号。匀强电场中，两点间的电势差等于场强与这两点沿场强方向的距离的乘积：

$$U=Ed$$U=Ed

式中 $d$d 是沿场强方向的距离。电势相等的点连成的面叫等势面，电场线与等势面垂直，沿等势面移动电荷，电场力不做功。

物理量	与零电势点的选取	性质
电势 $\varphi$φ	有关	标量，沿电场线降低
电势差 $U_{AB}$UAB​	无关	标量，$U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$UAB​=φA​−φB​
电势能 $E_p$Ep​	有关	标量，$E_p=q\varphi$Ep​=qφ

电容器与电容

电容的定义和决定式

电容器能容纳电荷，电容表示它容纳电荷的本领，定义为电荷量与电压的比值：

$$C=\dfrac{Q}{U}$$C=UQ​

单位法拉（$\mathrm{F}$F），$1\,\mathrm{F}=10^{6}\,\mu\mathrm{F}=10^{12}\,\mathrm{pF}$1F=106μF=1012pF。电容由电容器自身的结构决定，与 $Q$Q、$U$U 无关。平行板电容器的电容为：

$$C=\dfrac{\varepsilon_rS}{4\pi kd}$$C=4πkdεr​S​

电容与正对面积 $S$S 成正比，与板间距离 $d$d 成反比，板间插入电介质，电容增大。

两种动态分析

平行板电容器的动态分析，先看是“接着电源”还是“断开电源”，找出不变的量，再逐个推出其他量：

情形	不变量	板间距离 $d$d 增大时
保持与电源相连	电压 $U$U	$C$C 减小，$Q=CU$Q=CU 减小，$E=\dfrac{U}{d}$E=dU​ 减小
充电后断开电源	电荷量 $Q$Q	$C$C 减小，$U=\dfrac{Q}{C}$U=CQ​ 增大，$E$E 不变

带电粒子在电场中的运动

电子、质子、离子等基本粒子，重力远小于电场力，一般忽略重力；带电的液滴、尘埃、小球等，一般要考虑重力。

加速

带电粒子从静止开始，经电压 $U$U 加速，由动能定理（对任何电场都适用）：

$$qU=\dfrac12mv^2$$qU=21​mv2

偏转

带电粒子垂直于场强方向射入匀强电场，做类平抛运动：垂直电场方向匀速，$l=v_0t$l=v0​t；沿电场方向做初速度为零的匀加速运动，加速度 $a=\dfrac{qU}{md}$a=mdqU​。离开电场时的侧移量：