运动的描述与运动图像

本节导读

运动学是力学的起点，也是整张试卷里最容易拿分的部分。选择题常考概念辨析：位移与路程、平均速度与平均速率、加速度的方向；图像题常考斜率和面积的含义；填空题、计算题则把这些量代入下一节的匀变速公式。

学完这一节，你应该能分清位移与路程，说出速度和加速度各自描述什么，会看位移时间图像和速度时间图像，并能用图像求位移。

描述运动的基本概念

质点和参考系

质点是用来代替物体的、有质量的点。只要物体的大小和形状对所研究的问题影响很小，就可以把它看成质点。研究火车从杭州开到北京用了多长时间，火车可以看成质点；研究火车过桥要多长时间，火车的长度不能忽略，就不能看成质点。

描述运动必须选一个参考系。选的参考系不同，对同一个运动的描述可以不同。题目没有说明时，一般以地面为参考系。

位移和路程

位移 $x$x 是从初位置指向末位置的有向线段，有大小也有方向，是矢量。路程 $s$s 是物体运动轨迹的长度，只有大小，是标量。

比较项	位移	路程
定义	从起点指向终点的有向线段	运动轨迹的长度
类型	矢量	标量
大小关系	位移大小不大于路程	单向直线运动时二者相等

绕 400 米跑道跑一整圈回到起点，路程是 400 米，位移是 0。

速度

平均速度等于位移除以时间，是矢量；平均速率等于路程除以时间，是标量，二者一般不相等：

$$\bar v=\dfrac{x}{t}$$vˉ=tx​

瞬时速度是物体在某一时刻（或某一位置）的速度，瞬时速度的大小叫瞬时速率。匀速直线运动是速度大小和方向都不变的运动，位移 $x=vt$x=vt。

加速度

加速度表示速度变化的快慢，等于速度的变化量与所用时间之比，单位是 $\mathrm{m/s^2}$m/s2，是矢量：

$$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v-v_0}{t}$$a=ΔtΔv​=tv−v0​​

加速度的方向和速度变化量的方向相同。判断加速还是减速，看加速度方向和速度方向的关系：同向则加速，反向则减速。下面是三个容易混的量：

物理量	描述什么	与另两个的关系
速度 $v$v	运动的快慢和方向	大，不代表加速度大
速度变化量 $\Delta v$Δv	速度变化了多少	大，不代表加速度大
加速度 $a$a	速度变化得多快	与 $v$v、$\Delta v$Δv 的大小没有必然联系

速度为零时加速度可以不为零，比如竖直上抛到最高点的瞬间；加速度为零时速度可以不为零，比如匀速直线运动。

运动图像

位移时间图像（$x$x-$t$t 图像）

横轴是时间 $t$t，纵轴是位移 $x$x。图线的斜率等于速度：水平线表示静止，倾斜直线表示匀速直线运动，斜率为负表示向反方向运动。两条图线的交点表示两物体在那一时刻处在同一位置，也就是相遇。

速度时间图像（$v$v-$t$t 图像）

横轴是时间 $t$t，纵轴是速度 $v$v。图线的斜率等于加速度；图线与时间轴围成的面积等于位移，时间轴上方的面积为正位移，下方为负位移。水平线表示匀速直线运动，倾斜直线表示匀变速直线运动，图线与横轴的交点表示速度为零，此时运动方向可能改变。

比较项	$x$x-$t$t 图像	$v$v-$t$t 图像
斜率表示	速度	加速度
水平线	静止	匀速直线运动
倾斜直线	匀速直线运动	匀变速直线运动
面积	没有意义	位移
交点	相遇（位置相同）	速度相等

易错提醒

• ❌ 位移和路程是同一个量，只是叫法不同。
  ✅ 位移是矢量，路程是标量，一般位移大小小于路程。
  只有单向直线运动时二者大小才相等。

• ❌ 回到出发点，平均速度为零，所以平均速率也为零。
  ✅ 平均速度用位移算，平均速率用路程算。
  跑一圈回到起点，位移为零，路程不为零。

• ❌ 加速度是负值，物体一定在减速。
  ✅ 要看加速度和速度的方向关系，同向加速，反向减速。
  速度也是负值时，负的加速度反而是加速。

• ❌ 两个物体的 $v$v-$t$t 图线相交，说明它们相遇了。
  ✅ $v$v-$t$t 图线的交点只表示速度相等。
  相遇要看位移相等，$x$x-$t$t 图线的交点才是相遇。

• ❌ 把 $v$v-$t$t 图像当成物体运动的轨迹。
  ✅ 图像只描述速度随时间的变化，不是运动轨迹。
  向上倾斜的 $v$v-$t$t 图线不表示物体往上走。

例题精讲

例题 1

小明从 A 点出发，先向东走 30 米，再向北走 40 米到达 B 点。他的路程和位移大小分别是：

A. 路程 70 米，位移 70 米　　B. 路程 70 米，位移 50 米　　C. 路程 50 米，位移 70 米　　D. 路程 50 米，位移 50 米

答案：B

解析：路程是轨迹的长度，$30+40=70$30+40=70 米。位移是从 A 指向 B 的有向线段，两段路线垂直，位移大小为 $\sqrt{30^2+40^2}=50$302+402​=50 米。位移的大小小于路程。

例题 2

一辆汽车的速度在 5 秒内由 $10\,\mathrm{m/s}$10m/s 均匀增加到 $20\,\mathrm{m/s}$20m/s，它的加速度大小是：

A. $0.5\,\mathrm{m/s^2}$0.5m/s2　　B. $2\,\mathrm{m/s^2}$2m/s2　　C. $4\,\mathrm{m/s^2}$4m/s2　　D. $6\,\mathrm{m/s^2}$6m/s2

答案：B

解析：$a=\dfrac{v-v_0}{t}=\dfrac{20-10}{5}=2\,\mathrm{m/s^2}$a=tv−v0​​=520−10​=2m/s2，方向与运动方向相同。

例题 3

某物体做直线运动：前 2 秒速度由 0 均匀增大到 $6\,\mathrm{m/s}$6m/s，接着以 $6\,\mathrm{m/s}$6m/s 匀速运动 3 秒，最后 2 秒均匀减小到 0。这 7 秒内的位移是：

A. 18 米　　B. 24 米　　C. 30 米　　D. 42 米

答案：C

解析：$v$v-$t$t 图线与时间轴围成的面积就是位移。把三段分开算：前 2 秒 $\dfrac12\times2\times6=6$21​×2×6=6 米，中间 3 秒 $6\times3=18$6×3=18 米，最后 2 秒 $\dfrac12\times2\times6=6$21​×2×6=6 米，总位移 $6+18+6=30$6+18+6=30 米。D 是把整段都当成 $6\,\mathrm{m/s}$6m/s 匀速算出来的。

本节小结

• 位移是从起点指向终点的有向线段（矢量），路程是轨迹长度（标量），位移大小不大于路程。
• 平均速度 $\bar v=\dfrac{x}{t}$vˉ=tx​ 用位移算；平均速率用路程算；二者一般不等。
• 加速度 $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$a=ΔtΔv​ 描述速度变化的快慢；$a$a 与 $v$v 同向加速，反向减速。
• $x$x-$t$t 图线的斜率是速度；$v$v-$t$t 图线的斜率是加速度，面积是位移。
• $v$v-$t$t 图线的交点表示速度相等，$x$x-$t$t 图线的交点才表示相遇。