匀变速直线运动与自由落体

本节导读

匀变速直线运动是运动学的核心，也是计算题里最常见的“第一步”：求加速度、求位移、求时间，都要用到这一节的公式。选择题考公式怎么选，填空题考自由落体和竖直上抛的数值，纸带数据处理常作为实验填空出现。

学完这一节，你应该能熟练选用四个公式，会处理汽车刹车这类“先停下来”的问题，会算自由落体和竖直上抛，并能从纸带上求出速度和加速度。本课程中重力加速度一律取 $g=10\,\mathrm{m/s^2}$g=10m/s2。

匀变速直线运动的规律

加速度保持不变的直线运动叫匀变速直线运动。先规定正方向（通常取初速度方向为正），与正方向相反的量取负值，然后用下面四个公式：

公式	不含的量	什么时候用
$v=v_0+at$v=v0​+at	位移 $x$x	已知时间，求速度
$x=v_0t+\dfrac12at^2$x=v0​t+21​at2	末速度 $v$v	已知时间，求位移
$v^2-v_0^2=2ax$v2−v02​=2ax	时间 $t$t	题目没给时间
$x=\dfrac{v_0+v}{2}\,t$x=2v0​+v​t	加速度 $a$a	题目没给加速度

选公式的口诀是“缺什么，选不含它的公式”。有了这四个，再记两条推论就够用：

• 一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，也等于初速度与末速度的平均值：$\bar v=\dfrac{v_0+v}{2}$vˉ=2v0​+v​。
• 相邻相等时间 $T$T 内的位移之差是定值：$\Delta x=aT^2$Δx=aT2。

初速度为零的匀加速直线运动，还有一组比例：第 1 秒、第 2 秒、第 3 秒内的位移之比是 $1:3:5$1:3:5；前 1 秒、前 2 秒、前 3 秒内的位移之比是 $1:4:9$1:4:9。

刹车问题

汽车刹车后会停下来，不会反向运动。所以要先求停下来所用的时间 $t_0=\dfrac{v_0}{a}$t0​=av0​​。如果题目给的时间比 $t_0$t0​ 长，就按 $t_0$t0​ 算位移，不能把题目给的时间直接代进公式。

自由落体和竖直上抛

自由落体运动

物体只在重力作用下，从静止开始下落，叫自由落体运动。它是初速度为零、加速度为 $g$g 的匀加速直线运动：

$$v=gt,\qquad h=\dfrac12gt^2,\qquad v^2=2gh$$v=gt,h=21​gt2,v2=2gh

竖直上抛运动

物体以初速度 $v_0$v0​ 竖直向上抛出，只受重力，加速度大小为 $g$g，方向向下。取向上为正方向，则 $v=v_0-gt$v=v0​−gt，$h=v_0t-\dfrac12gt^2$h=v0​t−21​gt2。常用的结论有：

量	结果	说明
上升时间	$t=\dfrac{v_0}{g}$t=gv0​​	到最高点时速度为零
最大高度	$H=\dfrac{v_0^2}{2g}$H=2gv02​​	用 $v^2-v_0^2=2ax$v2−v02​=2ax 得到
总时间	$\dfrac{2v_0}{g}$g2v0​​	上升和下降所用时间相等
落回抛出点的速度	大小 $v_0$v0​，方向向下	上升和下降对称

打点计时器与纸带

电磁打点计时器和电火花计时器接频率 $50\,\mathrm{Hz}$50Hz 的交流电，每隔 $0.02\,\mathrm{s}$0.02s 打一个点。实验中常每隔几个点取一个计数点，若相邻两个计数点之间还有 4 个点没有画出，相邻计数点的时间间隔就是 $T=0.1\,\mathrm{s}$T=0.1s。

某个计数点的瞬时速度，等于它前后两个计数点之间的平均速度。加速度用逐差法：相邻位移之差 $\Delta x=aT^2$Δx=aT2，所以 $a=\dfrac{\Delta x}{T^2}$a=T2Δx​。数据多时，把后面几段的位移和减去前面几段的位移和，再除以相应的倍数，能减小误差。

易错提醒

• ❌ 减速运动也直接把加速度的大小代进 $v=v_0+at$v=v0​+at。
  ✅ 先规定正方向，减速时 $a$a 取负值。
  公式里的 $v_0$v0​、$a$a、$x$x 都是带方向的量。

• ❌ 汽车刹车 5 秒，直接代入 $x=v_0t+\dfrac12at^2$x=v0​t+21​at2 求位移。
  ✅ 先求停下来的时间，停下来以后不再运动。
  时间超过停车时间，要用停车时间或直接用 $v^2-v_0^2=2ax$v2−v02​=2ax。

• ❌ 竖直上抛到最高点，速度和加速度都是零。
  ✅ 最高点速度为零，加速度仍是 $g$g，方向向下。
  加速度不因为速度为零而消失。

• ❌ 自由落体下落的位移与时间成正比。
  ✅ 位移与时间的平方成正比，速度与时间成正比。
  $h=\dfrac12gt^2$h=21​gt2，时间加倍，位移变为四倍。

• ❌ 纸带上每隔 4 个点取计数点，就取 $T=0.08\,\mathrm{s}$T=0.08s。
  ✅ 看相邻计数点之间有几个时间间隔，每个间隔 $0.02\,\mathrm{s}$0.02s。
  有 4 个点没画出，就是 5 个间隔，$T=0.1\,\mathrm{s}$T=0.1s。

例题精讲

例题 1

汽车以 $10\,\mathrm{m/s}$10m/s 的速度开始做匀加速直线运动，加速度为 $2\,\mathrm{m/s^2}$2m/s2，则 4 秒内的位移是：

A. 40 米　　B. 48 米　　C. 56 米　　D. 72 米

答案：C

解析：已知 $v_0$v0​、$a$a、$t$t，求位移，选 $x=v_0t+\dfrac12at^2$x=v0​t+21​at2：$x=10\times4+\dfrac12\times2\times4^2=40+16=56$x=10×4+21​×2×42=40+16=56 米。

例题 2

汽车以 $20\,\mathrm{m/s}$20m/s 的速度行驶，刹车后加速度大小为 $5\,\mathrm{m/s^2}$5m/s2，刹车后 6 秒内的位移是：

A. 30 米　　B. 40 米　　C. 60 米　　D. 120 米

答案：B

解析：先求停下来的时间 $t_0=\dfrac{20}{5}=4$t0​=520​=4 秒，小于 6 秒，说明 4 秒时汽车已经停下。位移 $x=\dfrac{v_0^2}{2a}=\dfrac{400}{2\times5}=40$x=2av02​​=2×5400​=40 米。A 是把 6 秒直接代入公式得到的，是典型错误。

例题 3

一块石头从 $45\,\mathrm{m}$45m 高处自由落下，落到地面所用的时间和落地速度分别是：

A. 3 秒，$30\,\mathrm{m/s}$30m/s　　B. 3 秒，$15\,\mathrm{m/s}$15m/s　　C. 4.5 秒，$45\,\mathrm{m/s}$45m/s　　D. 9 秒，$90\,\mathrm{m/s}$90m/s

答案：A

解析：由 $h=\dfrac12gt^2$h=21​gt2 得 $t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times45}{10}}=3$t=g2h​​=102×45​​=3 秒。落地速度 $v=gt=10\times3=30\,\mathrm{m/s}$v=gt=10×3=30m/s。

本节小结

• 匀变速直线运动有四个公式，缺哪个量就选不含哪个量的公式；使用前先规定正方向。
• 平均速度等于中间时刻的瞬时速度；相邻相等时间内的位移差 $\Delta x=aT^2$Δx=aT2。
• 刹车问题先求停车时间，时间超过停车时间就按停车时间算。
• 自由落体 $h=\dfrac12gt^2$h=21​gt2、$v=gt$v=gt；竖直上抛上升时间 $\dfrac{v_0}{g}$gv0​​，最大高度 $\dfrac{v_0^2}{2g}$2gv02​​。
• 纸带上相邻计数点的时间间隔数清间隔个数；瞬时速度用平均速度，加速度用 $\Delta x=aT^2$Δx=aT2。