简谐运动与机械波

本节导读

机械振动和机械波是力学的最后一块内容，公式不多，但概念比较密：回复力、位移、振幅、周期、波长、波速，都容易混。在试卷上，这一块一般以选择题和填空题的形式出现，分值不大，但只要概念清楚，几乎不会丢分。

学完这一节，你应该能说出简谐运动在平衡位置和最大位移处各个量的变化，会用单摆周期公式，会用 $v=\lambda f$v=λf 算波速，会区分振动图像和波的图像，并能由波的传播方向判断质点的振动方向。

简谐运动

回复力与描述量

物体在跟位移大小成正比、方向总是指向平衡位置的回复力作用下的运动，叫简谐运动：

$$F=-kx$$F=−kx

式中负号表示回复力与位移方向相反。位移 $x$x 是从平衡位置指向物体所在位置的有向线段。描述简谐运动的量有：

物理量	含义
振幅 $A$A	偏离平衡位置的最大距离，标量，反映振动的强弱
周期 $T$T	完成一次全振动所用的时间，单位 $\mathrm{s}$s
频率 $f$f	单位时间内完成全振动的次数，$f=\dfrac1T$f=T1​，单位 $\mathrm{Hz}$Hz

一次全振动通过的路程是 $4A$4A。弹簧振子的周期 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$T=2πkm​​，由振子质量和弹簧的劲度系数决定，与振幅无关。

振动中各量的变化

做简谐运动的物体，在平衡位置和最大位移处各个量的情况正好相反，机械能守恒，总机械能由振幅决定：

位置	位移	回复力、加速度	速度	动能	势能
平衡位置	0	0	最大	最大	最小
最大位移处	最大	最大	0	0	最大

物体在驱动力作用下的振动叫受迫振动，振动的频率等于驱动力的频率。驱动力的频率等于物体的固有频率时，振幅最大，这种现象叫共振。

单摆

摆长很大、摆球很小、摆线质量可以忽略的摆叫单摆。摆角小于 $5^\circ$5∘ 时，单摆的振动是简谐运动，周期为：

$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$$T=2πgl​​

$l$l 是摆长，等于悬点到摆球球心的距离。周期与摆球的质量、振幅无关，只由摆长和当地的重力加速度决定。摆长越长周期越长，重力加速度越大周期越短。利用这个公式，测出摆长和周期，可以算出当地的重力加速度 $g=\dfrac{4\pi^2l}{T^2}$g=T24π2l​。

机械波

波的形成与分类

机械振动在介质中的传播形成机械波，要有波源和介质两个条件。波传播的是振动的形式和能量，介质中的质点只在平衡位置附近振动，并不随波迁移。质点振动方向与波传播方向垂直的是横波，在同一直线上的是纵波。声波在空气中是纵波，在 $15\,^\circ\mathrm{C}$15∘C 的空气中传播速度约 $340\,\mathrm{m/s}$340m/s。

波长、频率和波速

波长 $\lambda$λ 是相邻两个同相质点（如相邻波峰）之间的距离。波的频率（周期）由波源决定，在传播过程中保持不变；波速由介质决定。三者的关系是：

$$v=\lambda f=\dfrac{\lambda}{T}$$v=λf=Tλ​

波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速改变，所以波长也随之改变。

振动图像与波的图像

两种图像都是正弦曲线，但意义完全不同：

比较项	振动图像	波的图像
横轴	时间 $t$t	位置 $x$x
描述的对象	一个质点在不同时刻的位移	许多质点在同一时刻的位移
周期性	随时间重复，重复的间隔是 $T$T	随位置重复，重复的间隔是 $\lambda$λ

由波的传播方向判断质点的振动方向，可以用“平移法”：把波形沿传播方向平移一小段，看该质点平移后到了平衡位置的上方还是下方，它就朝那个方向运动。

易错提醒

• ❌ 简谐运动的位移是物体离出发点的距离。
  ✅ 位移是从平衡位置指向物体所在位置的有向线段，起点永远是平衡位置。
  物体在平衡位置时位移为零。

• ❌ 单摆的周期与摆球的质量有关，球越重摆得越慢。
  ✅ 周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与质量、振幅无关。
  $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$T=2πgl​​ 里没有 $m$m。

• ❌ 波传播时，介质中的质点随波一起向前迁移。
  ✅ 质点只在平衡位置附近振动，传播的是振动的形式和能量。
  水面上的树叶随波上下起伏，并不会被波推向远处。

• ❌ 波速就是质点的振动速度。
  ✅ 波速由介质决定，是振动形式传播的速度；质点的振动速度时刻在变。
  同一列波中，波速不变，质点的速度却在做周期性变化。

• ❌ 波从空气进入水中，波长不变。
  ✅ 频率不变，波速变了，波长 $\lambda=\dfrac{v}{f}$λ=fv​ 也要变。
  频率由波源决定，与介质无关。

例题精讲

例题 1

一个弹簧振子的振幅为 $5\,\mathrm{cm}$5cm，频率为 $2\,\mathrm{Hz}$2Hz，它在 $1\,\mathrm{s}$1s 内通过的路程是：

A. $10\,\mathrm{cm}$10cm　　B. $20\,\mathrm{cm}$20cm　　C. $40\,\mathrm{cm}$40cm　　D. $80\,\mathrm{cm}$80cm

答案：C

解析：一次全振动通过的路程是 $4A=20\,\mathrm{cm}$4A=20cm。频率 $2\,\mathrm{Hz}$2Hz 表示每秒完成 2 次全振动，所以 $1\,\mathrm{s}$1s 内通过的路程是 $2\times20=40\,\mathrm{cm}$2×20=40cm。B 只算了一次全振动，A 只算了 $2A$2A。

例题 2

把单摆的摆长变为原来的 4 倍，其他条件不变，它的周期变为原来的：

A. $\dfrac12$21​ 倍　　B. 1 倍　　C. 2 倍　　D. 4 倍

答案：C

解析：由 $T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$T=2πgl​​，周期与摆长的平方根成正比，摆长变为 4 倍，周期变为 $\sqrt4=2$4​=2 倍。D 是把周期当成了与摆长成正比。

例题 3

某机械波的波长为 $4\,\mathrm{m}$4m，周期为 $0.02\,\mathrm{s}$0.02s，它的传播速度是：

A. $80\,\mathrm{m/s}$80m/s　　B. $160\,\mathrm{m/s}$160m/s　　C. $200\,\mathrm{m/s}$200m/s　　D. $0.005\,\mathrm{m/s}$0.005m/s

答案：C

解析：$v=\dfrac{\lambda}{T}=\dfrac{4}{0.02}=200\,\mathrm{m/s}$v=Tλ​=0.024​=200m/s。D 是把周期除以了波长，A、B 是除法算错的结果。

本节小结

• 简谐运动的回复力 $F=-kx$F=−kx，指向平衡位置；平衡位置速度、动能最大，最大位移处回复力、加速度、势能最大。
• 一次全振动通过的路程是 $4A$4A；$f=\dfrac1T$f=T1​；弹簧振子周期与振幅无关。
• 单摆（摆角小于 $5^\circ$5∘）：$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$T=2πgl​​，与摆球质量、振幅无关。
• 机械波传播的是振动形式和能量，质点不随波迁移；$v=\lambda f$v=λf，频率由波源决定，波速由介质决定。
• 振动图像横轴是时间，波的图像横轴是位置；由波的传播方向可用平移法判断质点振动方向。