曲线运动与万有引力

本节导读

这一节有三块内容：平抛运动、匀速圆周运动和万有引力。它们都是曲线运动，也是力学里公式最多的一节。选择题常考向心力的来源、卫星轨道半径与速度的关系；填空题和计算题常考平抛的时间与射程、圆周运动的向心力、天体表面的重力加速度。

学完这一节，你应该会把平抛运动分解成水平和竖直两个方向，会写向心力和向心加速度的几种形式，会用“万有引力提供向心力”分析卫星。本课程中 $g$g 取 $10\,\mathrm{m/s^2}$10m/s2。

曲线运动与平抛运动

曲线运动的特点

曲线运动中，质点在某点的速度方向沿该点轨迹的切线方向，所以曲线运动一定是变速运动。物体做曲线运动的条件是：所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，并且合力方向总指向轨迹弯曲的一侧（凹侧）。

平抛运动

物体以一定的初速度 $v_0$v0​ 沿水平方向抛出，只在重力作用下的运动叫平抛运动，加速度恒为 $g$g，是匀变速曲线运动。研究的方法是把它分解成两个方向：

方向	运动性质	公式
水平方向	匀速直线运动	$v_x=v_0$vx​=v0​，$x=v_0t$x=v0​t
竖直方向	自由落体运动	$v_y=gt$vy​=gt，$y=\dfrac12gt^2$y=21​gt2
合运动	匀变速曲线运动	$v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}$v=v02​+vy2​​，$\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}$tanα=v0​vy​​

落地的时间只由下落的高度决定，与初速度无关：

$$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}},\qquad x=v_0t=v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$$t=g2h​​,x=v0​t=v0​g2h​​

水平射程由初速度和高度共同决定。表中 $\alpha$α 是速度与水平方向的夹角。

匀速圆周运动

描述圆周运动的物理量

质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的弧长相等，就是匀速圆周运动。匀速圆周运动的速度大小不变，方向时刻改变，所以是变速运动。描述它的量如下：

物理量	公式	单位
线速度	$v=\dfrac{2\pi r}{T}$v=T2πr​	$\mathrm{m/s}$m/s
角速度	$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$ω=T2π​	$\mathrm{rad/s}$rad/s
线速度与角速度的关系	$v=\omega r$v=ωr
周期与频率	$T=\dfrac{1}{f}$T=f1​	$\mathrm{s}$s、$\mathrm{Hz}$Hz
向心加速度	$a=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r=\dfrac{4\pi^2}{T^2}r$a=rv2​=ω2r=T24π2​r	$\mathrm{m/s^2}$m/s2

向心加速度的方向始终指向圆心，只改变速度的方向，不改变速度的大小。

向心力

使物体做圆周运动的合力指向圆心，叫向心力：

$$F=m\dfrac{v^2}{r}=m\omega^2r$$F=mrv2​=mω2r

向心力是按作用效果命名的力，不是一种新的性质的力，受力分析时不要另外画出来，它由实际受到的力（或它们的合力）提供。常见的向心力来源如下：

情景	向心力的来源
随水平转盘一起转动的物体	静摩擦力
汽车在水平路面上转弯	路面对轮胎的静摩擦力
汽车过凸形桥的最高点	重力与支持力的合力，$mg-N=m\dfrac{v^2}{r}$mg−N=mrv2​
圆锥摆	重力与拉力的合力
绳拉小球在竖直面内做圆周运动，通过最高点	重力与拉力的合力；刚好通过时只有重力，$v=\sqrt{gr}$v=gr​

万有引力定律

内容与应用

自然界任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比：

$$F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$$F=Gr2m1​m2​​

其中 $G=6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$G=6.67×10−11N⋅m2/kg2。两个应用要掌握：第一，地面附近的物体，重力近似等于万有引力，$mg=G\dfrac{Mm}{R^2}$mg=GR2Mm​，所以地面的重力加速度 $g=\dfrac{GM}{R^2}$g=R2GM​；离地面高度为 $h$h 处，$g'=\dfrac{GM}{(R+h)^2}$g′=(R+h)2GM​。第二，天体的圆周运动由万有引力提供向心力：

$$G\dfrac{Mm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r$$Gr2Mm​=mrv2​=mω2r=mT24π2​r

人造卫星

由上式可以得到卫星的运行规律，口诀是“高轨低速大周期”：轨道半径 $r$r 越大，线速度 $v$v、角速度 $\omega$ω、向心加速度 $a$a 都越小，周期 $T$T 越大，与卫星自己的质量无关。

物理量	表达式	$r$r 增大时
线速度	$v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$v=rGM​​	减小
角速度	$\omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}$ω=r3GM​​	减小
周期	$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$T=2πGMr3​​	增大
向心加速度	$a=\dfrac{GM}{r^2}$a=r2GM​	减小

第一宇宙速度（环绕速度）$v_1=\sqrt{gR}\approx7.9\,\mathrm{km/s}$v1​=gR​≈7.9km/s，是卫星绕地球表面运行的速度，是最大的环绕速度，也是最小的发射速度。地球同步卫星的周期等于地球自转周期（24 小时），只能在赤道上空，轨道高度是一定的。

易错提醒

• ❌ 做曲线运动的物体，加速度一定在变化。
  ✅ 平抛运动的加速度恒为 $g$g，是匀变速曲线运动。
  只要合力与速度不共线就是曲线运动，合力可以是恒力。

• ❌ 平抛运动的飞行时间与初速度有关，速度越大飞得越久。
  ✅ 时间只由下落高度决定，$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$t=g2h​​。
  初速度大，只是水平射程远。

• ❌ 匀速圆周运动的速度不变，所以是匀速运动。
  ✅ 速度大小不变，方向时刻改变，是变速运动，向心加速度的方向时刻变化。
  不能说匀速圆周运动的加速度是恒定的。

• ❌ 受力分析时，除了重力、支持力、摩擦力，还要画一个向心力。
  ✅ 向心力是效果力，是这些力的合力，不能重复画。
  列方程时再写成 $F=m\dfrac{v^2}{r}$F=mrv2​。

• ❌ 卫星轨道越高，运行速度越大。
  ✅ 轨道越高，速度越小，周期越长；但把卫星送到更高的轨道，发射时需要的速度更大。
  $7.9\,\mathrm{km/s}$7.9km/s 是最大的环绕速度。

例题精讲

例题 1

从 $20\,\mathrm{m}$20m 高处以 $15\,\mathrm{m/s}$15m/s 的初速度水平抛出一个小球，不计空气阻力，小球落地点与抛出点的水平距离是：

A. $15\,\mathrm{m}$15m　　B. $30\,\mathrm{m}$30m　　C. $45\,\mathrm{m}$45m　　D. $60\,\mathrm{m}$60m

答案：B

解析：竖直方向自由落体，$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\times20}{10}}=2\,\mathrm{s}$t=g2h​​=102×20​​=2s；水平方向匀速，$x=v_0t=15\times2=30\,\mathrm{m}$x=v0​t=15×2=30m。A 只是初速度的数值，D 是把时间当成了 4 秒。

例题 2

质量为 $0.5\,\mathrm{kg}$0.5kg 的小球在半径为 $0.4\,\mathrm{m}$0.4m 的水平圆周上做匀速圆周运动，速度大小为 $2\,\mathrm{m/s}$2m/s，所需的向心力大小是：

A. $1\,\mathrm{N}$1N　　B. $2.5\,\mathrm{N}$2.5N　　C. $5\,\mathrm{N}$5N　　D. $10\,\mathrm{N}$10N

答案：C

解析：向心力 $F=m\dfrac{v^2}{r}=0.5\times\dfrac{2^2}{0.4}=5\,\mathrm{N}$F=mrv2​=0.5×0.422​=5N。B 是多乘了 $\dfrac12$21​，把向心力公式和动能公式弄混了；D 是把半径当成了 $0.2\,\mathrm{m}$0.2m。

例题 3

某行星的质量是地球质量的 8 倍，半径是地球半径的 2 倍，则该行星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的：

A. 0.5 倍　　B. 2 倍　　C. 4 倍　　D. 16 倍

答案：B

解析：表面重力加速度 $g=\dfrac{GM}{R^2}$g=R2GM​，所以 $\dfrac{g_{\text{行}}}{g_{\text{地}}}=\dfrac{M_{\text{行}}}{M_{\text{地}}}\cdot\dfrac{R_{\text{地}}^2}{R_{\text{行}}^2}=\dfrac{8}{2^2}=2$g地​g行​​=M地​M行​​⋅R行2​R地2​​=228​=2。C 是忘了半径要平方，D 是把半径比乘了上去。

本节小结

• 曲线运动的条件是合力与速度不共线；平抛运动水平方向匀速、竖直方向自由落体，时间由高度决定。
• 匀速圆周运动：$v=\omega r$v=ωr，$a=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r$a=rv2​=ω2r，向心力 $F=m\dfrac{v^2}{r}$F=mrv2​，是效果力，由实际受力的合力提供。
• 万有引力 $F=G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$F=Gr2m1​m2​​；地面附近 $g=\dfrac{GM}{R^2}$g=R2GM​。
• 卫星由万有引力提供向心力，“高轨低速大周期”，与卫星自己的质量无关。
• 第一宇宙速度 $7.9\,\mathrm{km/s}$7.9km/s 是最大环绕速度、最小发射速度；同步卫星只能在赤道上空。