动量定理与动量守恒定律

本节导读

功和能关心的是力在空间上的积累，动量关心的是力在时间上的积累。动量守恒定律是处理碰撞、爆炸、反冲这类“时间极短、相互作用很强”问题的主要工具。

选择题常考动量、冲量的矢量性，以及碰撞结果是否合理；填空题和计算题常考用动量定理求平均冲力，用动量守恒求碰后的速度。学完这一节，你应该会规定正方向列式，会判断动量守恒的条件，会区分弹性碰撞和完全非弹性碰撞。

冲量与动量

动量是物体质量和速度的乘积，是矢量，方向与速度方向相同，单位 $\mathrm{kg\cdot m/s}$kg⋅m/s：

$$p=mv$$p=mv

冲量是力和力的作用时间的乘积，也是矢量，恒力的冲量方向与力的方向相同，单位 $\mathrm{N\cdot s}$N⋅s：

$$I=Ft$$I=Ft

动量的变化量 $\Delta p=p'-p$Δp=p′−p 也是矢量，一维问题中先规定正方向，与正方向相反的量取负值。注意：速度大小不变、方向改变时，动能不变，动量却变了。

动量定理

物体所受合力的冲量等于物体动量的变化量：

$$Ft=mv'-mv$$Ft=mv′−mv

这个公式把力、时间和速度的变化联系在一起，适合求作用时间很短的平均作用力，也适合变力问题。它还解释了日常现象：

现象	道理
跳高落在沙坑或海绵垫上	动量变化量一定，延长作用时间，减小冲击力
搬运易碎品时用泡沫包装	延长碰撞时间，减小作用力
用铁锤钉钉子	缩短作用时间，增大作用力

使用动量定理时，$F$F 是合力（可以是平均力），$v'$v′ 和 $v$v 要带正负号，计算前先规定正方向。

动量守恒定律

如果一个系统不受外力，或者所受外力的合力为零，系统的总动量保持不变：

$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$$m1​v1​+m2​v2​=m1​v1′​+m2​v2′​

判断能否使用，要看条件：

• 系统不受外力，或所受外力的合力为零。
• 内力远大于外力时（碰撞、爆炸的瞬间），可以近似认为动量守恒。
• 某一方向上合外力为零，则这个方向上动量守恒。

使用时所有速度必须相对同一个参考系，通常取地面。反冲是动量守恒的典型例子：火箭向后喷出气体，自身获得向前的速度；人从船上跳向岸，船会向后退。

碰撞

碰撞的分类

碰撞过程中系统的动量守恒，但动能不一定守恒。按动能的变化，碰撞分三类：

类型	动量	动能	特点
弹性碰撞	守恒	守恒	碰后两物体分开
非弹性碰撞	守恒	有损失	碰后两物体分开
完全非弹性碰撞	守恒	损失最大	碰后两物体粘在一起，速度相同

完全非弹性碰撞：$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v$m1​v1​+m2​v2​=(m1​+m2​)v。质量为 $m_1$m1​ 的物体以 $v_1$v1​ 碰撞静止的 $m_2$m2​，发生弹性碰撞时，碰后的速度是：

$$v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1,\qquad v_2'=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1$$v1′​=m1​+m2​m1​−m2​​v1​,v2′​=m1​+m2​2m1​​v1​

两球质量相等时，两球交换速度；质量大的撞质量小的，二者都向前；质量小的撞质量大的，小球被弹回。

判断碰撞结果是否合理

一个碰后结果要同时满足三条：第一，动量守恒；第二，碰后系统的总动能不大于碰前的总动能；第三，速度要合理，同向运动时，后面的物体碰后速度不能大于前面物体的速度，否则二者就穿过去了。

易错提醒

• ❌ 动量、冲量是标量，直接把数值相加减。
  ✅ 都是矢量，一维问题要先规定正方向，方向相反的取负号。
  皮球以速度 $v$v 撞墙后以 $v$v 弹回，动量变化量是 $2mv$2mv，不是零。

• ❌ 动量大的物体，受到的冲量一定大。
  ✅ 冲量等于动量的变化量，不是动量本身。
  匀速运动的物体动量很大，合力的冲量却是零。

• ❌ 合外力不为零时，动量也守恒。
  ✅ 守恒的条件是合外力为零，或者内力远大于外力。
  光滑水平面上的碰撞，竖直方向的重力和支持力平衡，水平方向动量守恒。

• ❌ 碰撞中动能一定守恒。
  ✅ 只有弹性碰撞动能守恒；一般碰撞动能有损失，粘在一起的碰撞损失最大。
  动量守恒是必然的，动能守恒是特殊情形。

• ❌ 人跳上小船，用人相对船的速度代入守恒方程。
  ✅ 代入的所有速度都要相对同一个参考系，通常是地面。
  相对速度要先换算成对地速度。

例题精讲

例题 1

质量为 $0.2\,\mathrm{kg}$0.2kg 的皮球以 $10\,\mathrm{m/s}$10m/s 的速度垂直撞到墙上，以 $6\,\mathrm{m/s}$6m/s 的速度反向弹回，球与墙的接触时间为 $0.01\,\mathrm{s}$0.01s，墙对球的平均作用力大小是：

A. $80\,\mathrm{N}$80N　　B. $120\,\mathrm{N}$120N　　C. $200\,\mathrm{N}$200N　　D. $320\,\mathrm{N}$320N

答案：D

解析：取反弹的方向为正方向，初速度为 $-10\,\mathrm{m/s}$−10m/s，末速度为 $6\,\mathrm{m/s}$6m/s。由动量定理 $Ft=mv'-mv=0.2\times6-0.2\times(-10)=3.2\,\mathrm{kg\cdot m/s}$Ft=mv′−mv=0.2×6−0.2×(−10)=3.2kg⋅m/s，$F=\dfrac{3.2}{0.01}=320\,\mathrm{N}$F=0.013.2​=320N。A 是没考虑速度方向相反而直接相减，B、C 分别只用了碰后和碰前的动量。

例题 2

质量为 $60\,\mathrm{kg}$60kg 的人以 $2\,\mathrm{m/s}$2m/s 的水平速度跳上一只静止在光滑水面上、质量为 $40\,\mathrm{kg}$40kg 的小船，人和船一起运动的速度大小是：

A. $0.8\,\mathrm{m/s}$0.8m/s　　B. $1.2\,\mathrm{m/s}$1.2m/s　　C. $2.0\,\mathrm{m/s}$2.0m/s　　D. $3.0\,\mathrm{m/s}$3.0m/s

答案：B

解析：水平方向系统不受外力，动量守恒：$m_1v_1=(m_1+m_2)v$m1​v1​=(m1​+m2​)v，$v=\dfrac{60\times2}{60+40}=1.2\,\mathrm{m/s}$v=60+4060×2​=1.2m/s。A 把两个质量的位置弄反了，C 没有考虑船，D 只除以了船的质量。

例题 3

质量为 $1\,\mathrm{kg}$1kg 的小球 A 以 $4\,\mathrm{m/s}$4m/s 的速度与静止的质量为 $3\,\mathrm{kg}$3kg 的小球 B 发生碰撞，碰后粘在一起运动，这一过程中损失的机械能是：

A. $2\,\mathrm{J}$2J　　B. $6\,\mathrm{J}$6J　　C. $8\,\mathrm{J}$8J　　D. $0$0

答案：B

解析：粘在一起是完全非弹性碰撞，$v=\dfrac{1\times4}{1+3}=1\,\mathrm{m/s}$v=1+31×4​=1m/s。碰前动能 $\dfrac12\times1\times4^2=8\,\mathrm{J}$21​×1×42=8J，碰后动能 $\dfrac12\times4\times1^2=2\,\mathrm{J}$21​×4×12=2J，损失 $8-2=6\,\mathrm{J}$8−2=6J。A 是碰后的动能，C 是碰前的动能，D 把它当成了弹性碰撞。

本节小结

• 动量 $p=mv$p=mv、冲量 $I=Ft$I=Ft 都是矢量，一维问题要先规定正方向。
• 动量定理：合力的冲量等于动量的变化量，$Ft=mv'-mv$Ft=mv′−mv，可求平均冲力；延长作用时间能减小冲击力。
• 动量守恒的条件：合外力为零（或内力远大于外力，或某方向合外力为零）；速度要对同一参考系。
• 碰撞中动量守恒；弹性碰撞动能守恒，完全非弹性碰撞（粘在一起）动能损失最大。
• 碰撞结果要同时满足：动量守恒、动能不增加、速度合理（不穿越）。