恒定电流与闭合电路

本节导读

恒定电流这一块是电学计算题的主干，几乎每年都有。常见的题目是：给出一个由几个电阻、电源组成的电路，让你求电流、电压、功率。选择题考电阻的串并联、电阻定律、动态电路；填空题和计算题考闭合电路欧姆定律、电功率。

学完这一节，你应该能熟练使用欧姆定律和串并联规律，会用电阻定律判断电阻变化，会算电功和电功率（包括含电动机的电路），会用 $I=\dfrac{E}{R+r}$I=R+rE​ 解闭合电路。

欧姆定律与电阻定律

电流与欧姆定律

电荷的定向移动形成电流，电流的大小 $I=\dfrac{q}{t}$I=tq​，单位安培（$\mathrm{A}$A）。规定正电荷定向移动的方向为电流的方向，与金属导体里自由电子的运动方向相反。欧姆定律：通过导体的电流与导体两端的电压成正比，与导体的电阻成反比：

$$I=\dfrac{U}{R}$$I=RU​

它适用于金属导体和电解液等纯电阻电路。电阻 $R=\dfrac{U}{I}$R=IU​ 只是电阻的定义式，导体的电阻不随 $U$U、$I$I 变化。

电阻定律

同种材料的导体，电阻与长度成正比，与横截面积成反比：

$$R=\rho\dfrac{l}{S}$$R=ρSl​

$\rho$ρ 是电阻率，由材料和温度决定。金属的电阻率随温度升高而增大。把一根导线均匀拉长，体积不变，长度增大为原来的 $n$n 倍，横截面积就变为原来的 $\dfrac1n$n1​，电阻变为原来的 $n^2$n2 倍。

串联与并联电路

串联和并联电路的规律是求解电路的基础，要对着表熟悉：

项目	串联电路	并联电路
电流	处处相等，$I=I_1=I_2$I=I1​=I2​	干路电流等于各支路电流之和，$I=I_1+I_2$I=I1​+I2​
电压	总电压等于各部分电压之和	各支路电压相等
总电阻	$R=R_1+R_2$R=R1​+R2​	$\dfrac1R=\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}$R1​=R1​1​+R2​1​
分配规律	电压与电阻成正比	电流与电阻成反比

并联电路的总电阻比任何一个支路的电阻都小；两个电阻并联时 $R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$R=R1​+R2​R1​R2​​。小量程的电流表（表头）并联一个小电阻可以改装成大量程的电流表，串联一个大电阻可以改装成电压表。

电功与电功率

电流做的功 $W=UIt$W=UIt，电功率 $P=UI$P=UI，电功的单位是焦耳，生活中常用千瓦时（$\mathrm{kW\cdot h}$kW⋅h），$1\,\mathrm{kW\cdot h}=3.6\times10^{6}\,\mathrm{J}$1kW⋅h=3.6×106J。电流通过导体产生的热量由焦耳定律给出：

$$Q=I^2Rt$$Q=I2Rt

纯电阻电路中，电能全部转化为内能，$P=UI=I^2R=\dfrac{U^2}{R}$P=UI=I2R=RU2​。含电动机的非纯电阻电路中，电能一部分转化为内能，其余转化为机械能：

$$UI=I^2r+P_{\text{机}}$$UI=I2r+P机​

这时欧姆定律不再适用，求热功率只能用 $I^2r$I2r，不能用 $\dfrac{U^2}{r}$rU2​。

闭合电路欧姆定律

基本公式

电源的电动势 $E$E 等于电源没有接入电路时两极间的电压。闭合电路中，电流与电动势成正比，与内、外电阻之和成反比：

$$I=\dfrac{E}{R+r},\qquad U=E-Ir$$I=R+rE​,U=E−Ir

$U$U 是路端电压（外电压）。外电阻增大时，电流减小，路端电压增大；断路时 $I=0$I=0，$U=E$U=E；短路时 $I=\dfrac{E}{r}$I=rE​，$U=0$U=0。

电源的输出功率

电源的输出功率就是外电路消耗的功率 $P_{\text{出}}=UI=I^2R$P出​=UI=I2R。当外电阻等于内阻，$R=r$R=r 时，输出功率最大：

$$P_{\max}=\dfrac{E^2}{4r}$$Pmax​=4rE2​

测量电源电动势和内阻的实验中，作出路端电压 $U$U 随电流 $I$I 变化的直线：纵轴上的截距是电动势 $E$E，直线斜率的绝对值是内阻 $r$r。