集合的运算、基数与集合的势

本节导读

集合与关系单元在大纲里有八条，本节讲涉及集合本身的四条：集合的概念与运算、有限集合的基数与包含排斥原理、集合论公理系统与自然数集合、集合的势与无限集合的基数；下一节讲关系与函数。

这部分的考法多是填空和正误判断：算一个运算结果或一个幂集的元素个数，判断一个集合等式成不成立、一个集合是不是可数集；证明推导题则常要求证明一个集合恒等式。学完你应该能熟练做集合运算，会用两种方法证明集合等式，并能说清「可数」「不可数」的含义和典型例子。

集合的关系与运算

集合由它的元素唯一确定（外延原则）。A 的每个元素都属于 B，记作 $A \subseteq B$A⊆B；$A \subseteq B$A⊆B 且 $A \neq B$A=B 时 A 是 B 的真子集，记作 $A \subset B$A⊂B。空集 $\varnothing$∅ 是任何集合的子集，而且只有一个。要分清 $\in$∈ 和 $\subseteq$⊆：前者说「是它的一个元素」，后者说「是它的一部分」。比如 $\varnothing \subseteq \{a\}$∅⊆{a} 成立，而 $\varnothing \in \{a\}$∅∈{a} 不成立；$\varnothing$∅ 与 $\{\varnothing\}${∅} 也不同，前者没有元素，后者有一个元素。

运算	记号	定义
并	$A \cup B$A∪B	属于 A 或属于 B 的元素
交	$A \cap B$A∩B	既属于 A 又属于 B 的元素
相对补（差）	$A - B$A−B	属于 A 而不属于 B 的元素
绝对补	$\overline{A}$A（也记作 ~A）	全集 E 中不属于 A 的元素，即 $E - A$E−A
对称差	$A \oplus B$A⊕B	恰好属于其中一个集合的元素，即 $(A - B) \cup (B - A)$(A−B)∪(B−A)

常用的运算律有：交换律、结合律、分配律 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)、德摩根律 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$A∪B=A∩B、吸收律 $A \cup (A \cap B) = A$A∪(A∩B)=A，以及把差化成交的 $A - B = A \cap \overline{B}$A−B=A∩B。对称差满足交换律和结合律，$A \oplus A = \varnothing$A⊕A=∅，$A \oplus \varnothing = A$A⊕∅=A；差运算不满足交换律。

证明集合等式有两种方法：一是取元素法，任取 x 属于左边，推出 x 属于右边，再反过来；二是等式演算，先用 $A - B = A \cap \overline{B}$A−B=A∩B 把差化掉，再套运算律。

幂集

A 的所有子集组成的集合叫 A 的幂集，记作 $P(A)$P(A)。A 有 n 个元素时，每个元素「选或不选」两种可能，所以 $\lvert P(A) \rvert = 2^n$∣P(A)∣=2n。

元素本身是集合时要格外小心。例如 $A = \{a, \{a\}\}$A={a,{a}} 有两个元素，$P(A) = \{\varnothing, \{a\}, \{\{a\}\}, \{a, \{a\}\}\}$P(A)={∅,{a},{{a}},{a,{a}}} 有四个元素。这里 $\{a\}${a} 既是 A 的元素（$\{a\} \in A${a}∈A），又是 A 的子集（因为 a 属于 A，所以 $\{a\} \subseteq A${a}⊆A），两种关系同时成立。

有限集合的基数与包含排斥原理

有限集合 A 的元素个数叫它的基数，记作 $\lvert A \rvert$∣A∣。两个集合并起来计数时，交集被数了两次，要减掉一次；三个集合时按「加单个、减两两、加三个」：

$\lvert A \cup B \cup C \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert + \lvert C \rvert - \lvert A \cap B \rvert - \lvert A \cap C \rvert - \lvert B \cap C \rvert + \lvert A \cap B \cap C \rvert$∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣−∣A∩B∣−∣A∩C∣−∣B∩C∣+∣A∩B∩C∣

再用全集减去并集，就得到「都不具有」的个数。比如某公司 120 名开发人员中，会 Java 的 65 人、会 Python 的 48 人、会 Go 的 40 人，会其中两种的分别是 20、15、12 人，三种都会的 6 人：至少会一种的是 $65 + 48 + 40 - 20 - 15 - 12 + 6 = 112$65+48+40−20−15−12+6=112 人，三种都不会的是 8 人。第 13 节还会把它推广到 n 个集合。

集合论公理系统与自然数

「所有集合组成的集合」这类说法会导致罗素悖论：令 R 是所有「不属于自身的集合」组成的集合，问 R 属不属于 R，两种回答都矛盾。为了避免悖论，集合论改用公理来规定哪些集合存在，常见的是 ZF 公理系统：外延公理、空集存在公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、分离公理、无穷公理、替换公理、正则公理，再加选择公理称为 ZFC。

无穷公理保证存在一个包含 $\varnothing$∅、并且对「后继」运算封闭的集合，由它可以定义自然数集合。常用的定义是：$0 = \varnothing$0=∅，n 的后继 $n^{+} = n \cup \{n\}$n+=n∪{n}。于是 $1 = \{\varnothing\}$1={∅}，$2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$2={∅,{∅}}，每个自然数 n 恰好有 n 个元素，就是比它小的所有自然数，而且 $m \lt n$m<n 当且仅当 $m \in n$m∈n。

集合的势

两个集合之间如果存在双射（一一对应），就说它们等势，记作 $A \approx B$A≈B。有限集等势就是元素个数相同；无限集的「大小」只能用等势来比较。

与自然数集 N 等势的集合叫可数集（可列集），它的势记作 $\aleph_0$ℵ0​。整数集 Z 是可数的：按 0、1、−1、2、−2…的顺序就能把它排成一列；有理数集 Q、自然数对的集合 $N \times N$N×N、有限字母表上全体有限长字符串的集合也都是可数集，可数个可数集的并仍可数。

实数集 R 和区间 (0, 1) 是不可数集，证明用康托尔对角线法：假设 (0, 1) 中的实数能排成一列，把它们写成小数，构造一个第 k 位与第 k 个数的第 k 位都不同的小数，它不在这一列里，矛盾。R 的势记作 $\aleph$ℵ（连续统的势），$\aleph_0 \lt \aleph$ℵ0​<ℵ。

康托尔定理还说：任何集合 A 都与它的幂集不等势，$\lvert A \rvert \lt \lvert P(A) \rvert$∣A∣<∣P(A)∣。所以不存在势最大的集合，N 的幂集是不可数的。

易错提醒

• ❌ $\varnothing$∅ 和 $\{\varnothing\}${∅} 是一回事。✅ 前者有 0 个元素，后者有 1 个元素。因为 $\{\varnothing\}${∅} 是「以空集为元素」的集合。

• ❌ 只要 $x \in A$x∈A 就不可能有 $x \subseteq A$x⊆A。✅ 两者可以同时成立。因为元素本身是集合时，它也可能恰好是 A 的子集。

• ❌ $\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert$∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣。✅ 要减去 $\lvert A \cap B \rvert$∣A∩B∣。因为交集里的元素被数了两次。

• ❌ 有理数比自然数多，所以 Q 不可数。✅ Q 是可数集，势也是 $\aleph_0$ℵ0​。因为可以把全体有理数排成一列。

• ❌ $A - B = B - A$A−B=B−A。✅ 差运算不满足交换律，对称差才满足。因为 $A - B$A−B 只取 A 中的元素。

例题精讲

例题 1（填空）

全集 $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$E={1,2,3,4,5,6}，$A = \{1, 2, 3, 4\}$A={1,2,3,4}，$B = \{3, 4, 5\}$B={3,4,5}。求 $A \oplus B$A⊕B、$\overline{A \cup B}$A∪B、$A - B$A−B 和 $\lvert P(A \oplus B) \rvert$∣P(A⊕B)∣。

答案：$A \oplus B = \{1, 2, 5\}$A⊕B={1,2,5}；$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$A∪B={1,2,3,4,5}，所以 $\overline{A \cup B} = \{6\}$A∪B={6}；$A - B = \{1, 2\}$A−B={1,2}；$A \oplus B$A⊕B 有 3 个元素，$\lvert P(A \oplus B) \rvert = 2^3 = 8$∣P(A⊕B)∣=23=8。

例题 2（证明推导）

证明：$A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C)。

答题要点示范：

$A - (B \cup C) = A \cap \overline{B \cup C} = A \cap (\overline{B} \cap \overline{C}) = (A \cap \overline{B}) \cap (A \cap \overline{C}) = (A - B) \cap (A - C)$A−(B∪C)=A∩B∪C=A∩(B∩C)=(A∩B)∩(A∩C)=(A−B)∩(A−C)

依次用了差化交、德摩根律、交的幂等律与结合律交换律、差化交。

点评：也可以用取元素法：x 属于左边，当且仅当 x 属于 A 且不属于 B 也不属于 C，当且仅当 x 同时属于 $A - B$A−B 和 $A - C$A−C。

例题 3（正误判断）

判断：区间 (0, 1) 中的全体实数组成可数集。

答案：错误。用对角线法：若能排成一列 $r_1, r_2, \ldots$r1​,r2​,…，构造小数 $0.d_1 d_2 d_3 \ldots$0.d1​d2​d3​…，令 $d_k$dk​ 不等于 $r_k$rk​ 的第 k 位小数（并避开 0 和 9），这个数属于 (0, 1) 却不在这一列里，矛盾。

点评：避开 0 和 9，是为了防止 0.1999… 与 0.2000… 这种同一个数两种写法的情况。

本节小结

• 分清 $\in$∈ 与 $\subseteq$⊆、$\varnothing$∅ 与 $\{\varnothing\}${∅}；五种运算里差不满足交换律，对称差满足。
• 证明集合等式：取元素法或等式演算，演算前先把差化成交。
• n 个元素的集合有 $2^n$2n 个子集；包含排斥原理「加单个、减两两、加三个」。
• ZF 公理系统用来避免悖论；无穷公理保证自然数集存在，$n^{+} = n \cup \{n\}$n+=n∪{n}。
• Z、Q 是可数集，R 不可数；任何集合都比它的幂集「小」。