曲线曲面与真实感图形绘制

本节导读

本节讲图形学大纲第三部分的曲面参数表示和物体的几何表示，以及第四部分「真实感图形绘制技术」：光反射模型（简单、增量式和局部光反射模型）、简单光透射模型、光线跟踪、颜色模型、纹理映射、消隐和辐射度方法。

能出计算的地方是：求 Bézier 曲线上的点，用欧拉公式检验多面体，用光照模型算一点的光强，做颜色模型的换算。问答题可以重点准备各种消隐算法和明暗处理方法的思想、优缺点。

参数曲线与曲面

曲线曲面一般用参数形式表示，如 $P(t) = (x(t), y(t), z(t))$P(t)=(x(t),y(t),z(t))，$t \in [0, 1]$t∈[0,1]。参数表示与坐标系无关，容易表示垂直的切线，便于几何变换和分段拼接。曲线段拼接时的光滑程度用连续性描述：参数连续 $C^0$C0、$C^1$C1、$C^2$C2 要求拼接点处位置、一阶导数、二阶导数分别相等；几何连续 $G^1$G1 只要求切线方向相同，不要求大小相等。

$n$n 次 Bézier 曲线由 $n + 1$n+1 个控制点 $P_0, \dots, P_n$P0​,…,Pn​ 确定：

$P(t) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} t^i (1 - t)^{n - i} P_i, \quad t \in [0, 1]$P(t)=∑i=0n​(in​)ti(1−t)n−iPi​,t∈[0,1]

它的性质有：通过首末两个控制点；在两端点处与控制多边形的首末边相切，$P'(0) = n(P_1 - P_0)$P′(0)=n(P1​−P0​)；位于控制点的凸包之内；形状与坐标系的选取无关；但移动任何一个控制点都会改变整条曲线。曲线上的点可以用 de Casteljau 算法反复线性插值求得。

B 样条曲线的次数与控制点个数无关，具有局部性：移动一个控制点只影响曲线的一小段。非均匀有理 B 样条（NURBS）还能精确表示圆、椭圆等圆锥曲线，是工业造型的常用工具。曲面方面，双三次 Bézier 曲面由 $4 \times 4$4×4 个控制点确定，此外还有 B 样条曲面和 Coons 曲面等。Hermite 曲线则用两个端点及其切向量来确定一段三次曲线。

三维物体的表示

三维模型有线框模型、表面模型和实体模型三类。实体的常用表示方法：

方法	思想
边界表示（B-rep）	用体、面、环、边、顶点及其拓扑关系描述物体的边界，常用翼边数据结构
构造实体几何（CSG）	用长方体、圆柱等体素经正则并、交、差运算构造物体，记录成 CSG 树
空间分割表示	把空间分成小立方体，如空间位置枚举、八叉树
扫描表示	把一个二维图形沿路径平移或绕轴旋转扫过的空间作为物体

正则集合运算先做普通集合运算，再取内部的闭包，以去掉悬挂的面和边。检验多面体是否合法可用欧拉公式：简单多面体满足 $V - E + F = 2$V−E+F=2（$V$V 顶点数，$E$E 棱数，$F$F 面数）；有孔洞时要用推广的欧拉公式。

消隐算法

消隐就是去掉被遮挡、看不见的线和面，分物空间算法（在物体所在的三维空间比较）和像空间算法（逐像素比较）。

算法	思想	特点
背面剔除	由面的法向量与视线方向的夹角判断面是否背向观察者	简单，常作为预处理
Z-buffer（深度缓存）	每个像素保存当前最近的深度，新面更近才更新颜色和深度	简单、易于硬件实现；要额外的深度缓存
扫描线 Z-buffer	按扫描线处理，只需一条扫描线长的深度缓存	节省存储
画家算法（深度排序）	按深度由远到近依次画，近的覆盖远的	多边形循环遮挡时要先分割
区域细分（Warnock）	窗口内画面复杂就四等分，递归到能直接判断	利用了区域的连贯性

背面剔除常这样判断：取 $V$V 为从面上一点指向视点的向量，若面的外法向量 $N$N 满足 $N \cdot V < 0$N⋅V<0，该面背向观察者，不可见。

光反射模型

简单光反射模型（Phong 模型）把反射光分为环境光、漫反射光和镜面反射光三部分：

$I = I_a K_a + I_p K_d \cos\theta + I_p K_s \cos^n \alpha$I=Ia​Ka​+Ip​Kd​cosθ+Ip​Ks​cosnα

其中 $I_a$Ia​ 为环境光强，$I_p$Ip​ 为点光源光强，$K_a$Ka​、$K_d$Kd​、$K_s$Ks​ 为环境、漫反射、镜面反射系数；$\theta$θ 是入射光与表面法向的夹角（漫反射遵循 Lambert 余弦定律），$\alpha$α 是反射方向与视线的夹角，$n$n 越大高光越集中。

增量式光照模型用于多边形的明暗处理：Gouraud 方法先算顶点的光强，再在多边形内对光强做双线性插值，速度快，但高光可能丢失，并有马赫带效应；Phong 方法对法向量做双线性插值，在每个像素处用插值得到的法向量计算光强，高光效果好，但计算量大。局部光反射模型（如 Cook-Torrance 模型）把表面看成大量微小平面，考虑菲涅耳效应，更适合表现金属等材质。简单光透射模型（Whitted 模型）在反射之外加上透射光，规则透射按折射定律 $\eta_1 \sin\theta_1 = \eta_2 \sin\theta_2$η1​sinθ1​=η2​sinθ2​ 改变方向。