几何变换、观察变换与裁剪

本节导读

本节讲图形学大纲第二部分中的窗口视图变换、二维图形裁剪、二维和三维几何变换，以及第三部分中的投影变换、观察空间和三维裁剪。

这一节是图形学里计算最集中的地方：写变换矩阵、算复合变换后的坐标、算窗口到视区的映射、求裁剪后的线段端点。先记住一条约定：本课把点写成行向量，用 $[x \ y \ 1]$[x y 1] 右乘变换矩阵，复合变换时先做的变换写在左边；有的教材把点写成列向量、矩阵左乘，矩阵要转置，复合的顺序也反过来，做题时以题目或教材的约定为准。

齐次坐标

用 $n + 1$n+1 维向量表示 $n$n 维点的方法叫齐次坐标：二维点 $(x, y)$(x,y) 写成 $(hx, hy, h)$(hx,hy,h)，$h \ne 0$h=0；取 $h = 1$h=1 叫规范化齐次坐标。反过来，齐次坐标 $(X, Y, h)$(X,Y,h) 表示的点是 $\left(\dfrac{X}{h}, \dfrac{Y}{h}\right)$(hX​,hY​)。引入齐次坐标后，平移也能写成矩阵乘法，各种变换就可以统一用矩阵相乘来复合；三维变换相应地使用 $4 \times 4$4×4 矩阵。

二维几何变换

平移、比例和旋转（绕原点逆时针转 $\theta$θ）的矩阵为：

$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ t_x & t_y & 1 \end{bmatrix}, \quad S = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad R = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$T=​10tx​​01ty​​001​​,S=​sx​00​0sy​0​001​​,R=​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​​

对称变换：关于 $x$x 轴对称把 $y$y 变号，关于 $y$y 轴对称把 $x$x 变号，关于原点对称两者都变号，关于直线 $y = x$y=x 对称交换 $x$x 和 $y$y。错切变换为 $x' = x + cy$x′=x+cy，$y' = bx + y$y′=bx+y。一般的 $3 \times 3$3×3 变换矩阵中，左上 $2 \times 2$2×2 子块实现比例、旋转、对称和错切，第三行前两个元素实现平移。

复合变换就是把基本变换矩阵按先后顺序相乘。例如绕任意点 $(x_r, y_r)$(xr​,yr​) 旋转：先平移 $(-x_r, -y_r)$(−xr​,−yr​) 使该点移到原点，再绕原点旋转，最后平移 $(x_r, y_r)$(xr​,yr​) 回去，复合矩阵为 $T(-x_r, -y_r) \cdot R(\theta) \cdot T(x_r, y_r)$T(−xr​,−yr​)⋅R(θ)⋅T(xr​,yr​)。以任意点为不动点的比例变换同理。矩阵乘法不满足交换律，顺序不能随意调换。

三维几何变换

三维平移矩阵的第四行为 $[t_x \ t_y \ t_z \ 1]$[tx​ ty​ tz​ 1]，比例矩阵为 $\text{diag}(s_x, s_y, s_z, 1)$diag(sx​,sy​,sz​,1)。在右手坐标系中，绕坐标轴逆时针旋转 $\theta$θ（从该轴正向朝原点看）的矩阵为：

$R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad R_z = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$Rx​=​1000​0cosθ−sinθ0​0sinθcosθ0​0001​​,Rz​=​cosθ−sinθ00​sinθcosθ00​0010​0001​​

绕 $y$y 轴旋转时，$x' = x\cos\theta + z\sin\theta$x′=xcosθ+zsinθ，$z' = -x\sin\theta + z\cos\theta$z′=−xsinθ+zcosθ，矩阵中正弦项的符号位置与另外两个相反。绕任意轴旋转可以分解为：平移使轴过原点，旋转使轴与某坐标轴重合，绕该坐标轴旋转，再逆向做前面的变换。

窗口视图变换

窗口是用户坐标系中要显示的矩形区域，视区（视口）是屏幕上用来显示的矩形区域。把窗口中的点 $(x_w, y_w)$(xw​,yw​) 映射到视区 $(x_v, y_v)$(xv​,yv​)：

$x_v = x_{vl} + (x_w - x_{wl}) \cdot \frac{x_{vr} - x_{vl}}{x_{wr} - x_{wl}}, \quad y_v = y_{vb} + (y_w - y_{wb}) \cdot \frac{y_{vt} - y_{vb}}{y_{wt} - y_{wb}}$xv​=xvl​+(xw​−xwl​)⋅xwr​−xwl​xvr​−xvl​​,yv​=yvb​+(yw​−ywb​)⋅ywt​−ywb​yvt​−yvb​​

下标 $l$l、$r$r、$b$b、$t$t 分别表示左、右、下、上边界。它相当于先平移窗口左下角到原点，再做比例变换，最后平移到视区左下角。两个方向的比例不相等时图形会变形。

二维裁剪

Cohen-Sutherland 编码裁剪：用窗口的四条边把平面分成 9 个区域，每个端点得到 4 位编码，每一位表示是否在窗口某条边的外侧（本课按「上、下、右、左」的次序，各位次序以教材为准）。两端点编码都为 0000，线段完全在窗口内，直接保留；两编码按位与不为 0，两端点在同一条边的外侧，直接舍弃；否则求线段与某条边界的交点，舍去外侧部分后重复判断。中点分割裁剪用反复取中点代替求交。