代数系统、群、环与域

本节导读

代数结构单元大纲列了九条：代数系统、同构与同态、群的基本知识、循环群、变换群与置换群（Cayley 定理）、陪集与 Lagrange 定理、正规子群与商群、同态基本定理、环和域。条目多，但每一条的核心结论都很短。

这一块的题目常见三类：判断一个代数系统是不是半群、群、环、域（正误判断或选择）；求元素的阶、生成元、子群（填空）；证明简单的群论命题（证明推导），比如「每个元素的平方都是单位元的群是交换群」。学完你应该能逐条验证群的定义，熟练用拉格朗日定理排除不可能的子群阶数。

代数系统与运算性质

非空集合 S 和定义在它上面、对 S 封闭的若干运算组成代数系统，如 $\langle Z, + \rangle$⟨Z,+⟩。二元运算常见的性质有交换律、结合律、幂等律、分配律和吸收律。三种特殊元素：

元素	定义	说明
单位元（幺元）e	对所有 x，$e \circ x = x \circ e = x$e∘x=x∘e=x	存在则唯一；$\langle Z, + \rangle$⟨Z,+⟩ 中是 0，$\langle Z, \times \rangle$⟨Z,×⟩ 中是 1
零元 $\theta$θ	对所有 x，$\theta \circ x = x \circ \theta = \theta$θ∘x=x∘θ=θ	存在则唯一；$\langle Z, \times \rangle$⟨Z,×⟩ 中是 0
逆元 $x^{-1}$x−1	$x \circ x^{-1} = x^{-1} \circ x = e$x∘x−1=x−1∘x=e	运算满足结合律时，逆元存在则唯一

有限集上的运算常用运算表给出：表关于主对角线对称则可交换；某一行、某一列都与表头相同，对应的元素就是单位元。

两个代数系统之间，若映射 $\varphi$φ 满足 $\varphi(x \circ y) = \varphi(x) * \varphi(y)$φ(x∘y)=φ(x)∗φ(y)，就叫同态；同态是单射叫单同态，是满射叫满同态，是双射叫同构。同构的系统结构完全一样，只是元素换了名字。例如 $\varphi(x) = \ln x$φ(x)=lnx 是 $\langle R^{+}, \times \rangle$⟨R+,×⟩ 到 $\langle R, + \rangle$⟨R,+⟩ 的同构，因为 $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ln(xy)=lnx+lny。

半群、独异点与群

名称	要求	例子
半群	封闭、结合	$\langle Z^{+}, + \rangle$⟨Z+,+⟩（没有单位元）
独异点（含幺半群）	半群 + 单位元	$\langle N, + \rangle$⟨N,+⟩、$\langle Z, \times \rangle$⟨Z,×⟩
群	独异点 + 每个元素都有逆元	$\langle Z, + \rangle$⟨Z,+⟩、模 n 加法群 $\langle Z_n, \oplus_n \rangle$⟨Zn​,⊕n​⟩
交换群（阿贝尔群）	群 + 交换律	上面两个群都是交换群

模 n 乘法下，$\{0, 1, \ldots, n-1\}${0,1,…,n−1} 不是群（0 没有逆元），但与 n 互素的那些剩余类在模 n 乘法下构成群。

群的几条基本性质：满足消去律；方程 $ax = b$ax=b 在群中有唯一解；$(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$(ab)−1=b−1a−1；有限群的运算表每一行、每一列都是群元素的一个排列。群的元素个数叫群的阶；使 $a^k = e$ak=e 的最小正整数 k 叫元素 a 的阶。

G 的非空子集 H 在同一运算下也构成群，就叫子群。判定定理：对 H 中任意 a、b 都有 $ab^{-1} \in H$ab−1∈H；H 是有限集时，只要对运算封闭就够了。

循环群

由一个元素 a 的各次幂生成的群叫循环群，记作 $\langle a \rangle$⟨a⟩，a 叫生成元。循环群都是交换群。无限循环群都与 $\langle Z, + \rangle$⟨Z,+⟩ 同构，只有两个生成元；n 阶循环群都与 $\langle Z_n, \oplus_n \rangle$⟨Zn​,⊕n​⟩ 同构，在 $Z_n$Zn​ 中：

• 元素 k 的阶是 $\frac{n}{\gcd(k, n)}$gcd(k,n)n​；
• 生成元是与 n 互素的 k，共 $\varphi(n)$φ(n) 个（欧拉函数）；
• 子群都是循环群，n 的每个正因子 d 恰好对应一个 d 阶子群，所以子群个数等于 n 的正因子个数。

置换群与 Cayley 定理

有限集合 $\{1, 2, \ldots, n\}${1,2,…,n} 到自身的双射叫 n 元置换，全体 n 元置换在复合运算下构成 n 次对称群 $S_n$Sn​，有 $n!$n! 个元素；它的子群叫置换群。置换常写成不相交轮换的乘积，比如把 1 变成 3、3 变成 1、2 变成 4、4 变成 5、5 变成 2，写作 $(1\,3)(2\,4\,5)$(13)(245)。置换的阶等于各轮换长度的最小公倍数，上面这个是 6。每个置换都能写成对换的乘积，对换个数为偶数的叫偶置换，偶置换组成交错群 $A_n$An​，有 $\frac{n!}{2}$2n!​ 个元素。两个置换相乘的先后顺序教材写法不一，以题目说明为准。

一个集合上全体双射在复合运算下构成的群及其子群叫变换群。Cayley 定理：任何群都同构于某个变换群；有限群都同构于某个置换群。

陪集与拉格朗日定理

H 是 G 的子群，$aH = \{ah \mid h \in H\}$aH={ah∣h∈H} 叫 H 的左陪集。H 的所有左陪集把 G 分成互不相交、大小都等于 H 的块，块数叫 H 在 G 中的指数 $[G : H]$[G:H]。拉格朗日定理：$\lvert G \rvert = \lvert H \rvert \cdot [G : H]$∣G∣=∣H∣⋅[G:H]，有限群的子群的阶一定整除群的阶。推论：元素的阶整除群的阶；$a^{\lvert G \rvert} = e$a∣G∣=e；素数阶的群一定是循环群。注意定理反过来不成立：12 阶的交错群 $A_4$A4​ 就没有 6 阶子群。

正规子群、商群与同态基本定理

如果对 G 中所有 a 都有 $aH = Ha$aH=Ha，H 叫正规子群。交换群的子群都是正规子群；指数为 2 的子群也一定是正规子群。H 是正规子群时，陪集之间可以定义乘法 $(aH)(bH) = (ab)H$(aH)(bH)=(ab)H，所有陪集构成商群 $G/H$G/H，阶为 $\frac{\lvert G \rvert}{\lvert H \rvert}$∣H∣∣G∣​。

群同态 $\varphi: G \to G'$φ:G→G′ 把 G 中映到单位元的元素组成同态核 $\ker \varphi$kerφ，它是 G 的正规子群。同态基本定理：$G / \ker \varphi$G/kerφ 与 $\varphi(G)$φ(G) 同构。

环与域

有两个运算的代数系统 $\langle R, +, \cdot \rangle$⟨R,+,⋅⟩，若 $\langle R, + \rangle$⟨R,+⟩ 是交换群、$\langle R, \cdot \rangle$⟨R,⋅⟩ 是半群、乘法对加法满足分配律，就叫环。a、b 都不是 0 而 $ab = 0$ab=0 时，a、b 叫零因子。

名称	在环的基础上再要求	例子
交换环 / 含幺环	乘法可交换 / 有乘法单位元	偶数环 $2Z$2Z 是交换环，但没有单位元
整环	交换、含幺、无零因子	整数环 $Z$Z
域	交换、含幺，每个非零元都有乘法逆元	Q、R、C；p 为素数时的 $Z_p$Zp​

域一定是整环，有限整环一定是域。$Z_n$Zn​ 是域当且仅当 n 是素数；例如 $Z_6$Z6​ 中 $2 \times 3 = 0$2×3=0，有零因子，不是整环，更不是域。

易错提醒

• ❌ 有单位元的半群就是群。✅ 还要求每个元素都有逆元。因为 $\langle Z, \times \rangle$⟨Z,×⟩ 有单位元 1，但 2 没有整数逆元。

• ❌ $Z_n$Zn​ 的生成元个数是 $\frac{n}{2}$2n​ 或 n − 1。✅ 是欧拉函数 $\varphi(n)$φ(n)，即与 n 互素的数的个数。因为 k 是生成元当且仅当 $\gcd(k, n) = 1$gcd(k,n)=1。

• ❌ 置换的阶是各轮换长度之和。✅ 是各轮换长度的最小公倍数。因为不相交轮换要同时回到原位。

• ❌ 子群的阶整除群的阶，所以每个因子都对应一个子群。✅ 拉格朗日定理的逆命题不成立。因为 $A_4$A4​ 的阶是 12，却没有 6 阶子群；只有循环群才保证每个因子都有子群。

• ❌ 整数环 Z 是域。✅ Z 是整环但不是域。因为 2 在 Z 中没有乘法逆元。

例题精讲

例题 1（填空）

在 $\langle Z_{12}, \oplus_{12} \rangle$⟨Z12​,⊕12​⟩ 中，求元素 8 的阶、全部生成元，以及 4 阶子群。

答案：8 的阶是 $\frac{12}{\gcd(8, 12)} = 3$gcd(8,12)12​=3；生成元是与 12 互素的 1、5、7、11；4 阶子群由 3 生成，是 $\{0, 3, 6, 9\}${0,3,6,9}。

例题 2（证明推导）

设 G 是群，G 中每个元素 x 都满足 $x^2 = e$x2=e。证明 G 是交换群。

答题要点示范：由 $x^2 = e$x2=e 知每个元素的逆元就是它自己，$x^{-1} = x$x−1=x。任取 a、b 属于 G，ab 也属于 G，所以 $ab = (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1} = ba$ab=(ab)−1=b−1a−1=ba。故 G 是交换群。

点评：关键是第一步把条件翻译成「逆元等于自身」，再用 $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$(ab)−1=b−1a−1。

例题 3（正误判断）

判断：$\langle Z_6, \oplus_6, \otimes_6 \rangle$⟨Z6​,⊕6​,⊗6​⟩ 是域。

答案：错误。$2 \otimes_6 3 = 0$2⊗6​3=0，2 和 3 是零因子，所以它不是整环，更不是域；6 不是素数。

本节小结

• 单位元、零元存在则唯一；结合运算下逆元存在则唯一；同构就是保持运算的双射。
• 半群 → 独异点 → 群，逐级加上单位元和逆元；子群判定用 $ab^{-1} \in H$ab−1∈H。
• $Z_n$Zn​ 中 k 的阶是 $\frac{n}{\gcd(k, n)}$gcd(k,n)n​，生成元有 $\varphi(n)$φ(n) 个，子群个数等于 n 的因子个数。
• 置换的阶是轮换长度的最小公倍数；Cayley 定理：群都同构于变换群。
• 拉格朗日定理：子群的阶整除群的阶，逆命题不成立；正规子群可以作商群，$G / \ker \varphi \cong \varphi(G)$G/kerφ≅φ(G)。
• 域是每个非零元都可逆的交换含幺环；$Z_n$Zn​ 是域当且仅当 n 是素数。